Xu Hướng 10/2023 # Các Phương Pháp Học Giỏi Toán # Top 17 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Các Phương Pháp Học Giỏi Toán được cập nhật mới nhất tháng 10 năm 2023 trên website Phauthuatthankinh.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Đầu tiên, sự siêng năng chăm chỉ luôn là điều quan trọng nhất nếu bạn muốn thành công bất cứ điều gì. Môn Toán thật sự không khó, có điều phải học đúng cách và sự đầu tư đúng hướng thì bạn sẽ giỏi thôi. Không chỉ học trên lớp mà về nhà cũng phải trau dồi và luyện tập thì bạn sẽ cảm thấy môn học này thật sự chẳng khó tí nào đâu!

Học toán trên trường lớp

1. Nắm chắc các lý thuyết, định nghĩa:

Dù không phải học thuộc lòng như mấy môn xã hội, nhưng các định nghĩa cũng như lý thuyết của môn Toán bắt buộc các em phải học thật chắc.

2. Không học dồn:

Đối với các môn tự nhiên như toán lý hóa, đặc biệt là môn Toán, thì các em phải học vững cái trước thì mới học tốt được cái sau. Bởi thế, việc học dồn là điều không thể để xảy ra với môn học này.

Có nhiều hs không học bài, đến khi thi mới lôi ra học công thức này nọ thì sẽ có kết quả thi rất thấp. Bởi vì phải có một quá trình để học và trao dồi mỗi ngày, áp dụng những kiến thức vào bài tập thì các em mới ghi nhớ lâu được.

3. Lắng nghe và ghi chép mọi thông tin từ bài giảng:

Đa số bài giảng của thầy cô đều nằm trong sách tới 80% và chỉ 20% là ở ngoài sách để các em hiểu sâu hơn. Vì thế, hãy ghi chép tất cả những gì thầy cô giảng dạy vì đó đều cần thiết và giúp ích cho các em rất nhiều.

4. Mạnh dạn hỏi khi chưa hiểu:

Đừng ngại ngùng khi mình hỏi, vì thầy cô sẽ rất vui nếu các em dám hỏi để thêm kiến thức cho mình. Họ sẽ giúp đỡ học trò của mình bằng mọi cách để các em học tốt hơn!

Tự học toán tại nhà

1. Đọc trước bài mới ở nhà:

Xem bài mới trước khi đến lớp là một cách để các em tiếp thu bài tuyệt vời. Nếu các em có xem qua và chuẩn bị bài trước, các em sẽ bắt kịp bài và hiểu dễ dàng hơn, tránh tình trạng bỡ ngỡ khi gặp bài học lạ hoặc khó. Không những thế, khi đọc trước thì các em sẽ chuẩn bị sẵng cho mình những thắc mắc để lên lớp giáo viên giải đáp cho mình nữa.

2. Học và làm bài tập thật nhiều:

Các em phải làm bài tập nhiều để những công thức mà mình học được áp dụng. Càng làm nhiều, các em sẽ tiếp xúc với nhiều dạng bài tập, nó sẽ tích lũy kiến thức cũng như kinh nghiệm cho các em giải các bài sau này.

Nếu mình làm nhiều dạng, khi đi thi có thể gặp lại và chẳng khó khăn gì để mình giải nữa cả. Lúc đó các em mới thấy được việc làm bài tập nhiều có lợi vô cùng!

3. Yêu thích môn học:

Bất cứ điều gì khi mình yêu thích thì mình sẽ làm tốt nó nhất. Vì vậy, hãy tập yêu môn Toán thử đi, hãy tạo cảm hứng để mình học. Các em sẽ chinh phục được nó nếu các em yêu thích nó. Đừng đặt áp lực quá nhiều vào nó, thay vào đó hãy thoải mái để học, các em sẽ thành công thôi!

4.5

/

5

(

388

bình chọn

)

Giải Pháp Học Giỏi Toán Cho Học Sinh

Nắm chắc các định nghĩa và lý thuyết

Một trong những cách học toán giỏi là bạn phải nắm chắc chắn những lý thuyết cùng các định nghĩa, nhớ kỹ lý thuyết cùng định nghĩa được xem là cách học toán tốt mà bạn có thể áp dụng được, chỉ cần bạn nhớ chắc được các lý thuyết cùng định nghĩa thì qua đó bạn mới có thể áp dụng được vào bài tập hiệu quả nhất, chứng minh và giải thích được các kết quả trong bài học của mình.

Chăm chỉ làm bài tập

Muốn học giỏi toán hơn thì việc chăm chỉ làm bài tập là không thể thiếu, việc làm nhiều bài tập, giải nhiều dạng đề khác nhau có thể khiến bạn quen biết được nhiều dạng đề hơn, không tiêu tốn quá nhiều thời gian vào việc tìm kiếm cách giải đề với những dạng bài mới mẻ.

Giải nhiều bài tập cũng giúp bạn vận dụng được định nghĩa, lý thuyết vào trong bài học thuần thục hơn, hiểu rõ được bản chất của vấn đề hơn và học toán giỏi hơn.

Thường thì khi bạn làm bài tập nhiều bạn có thể gặp được nhiều dạng bài khác nhau, hiểu rõ hơn về các cách tiếp cận vấn đề bài học, từ đó bạn cần tìm tòi và khám phá bài học sâu hơn để giải được các dạng bài tập mới.

Chỉ cần bạn làm nhiều bài tập thì khi đi thi bạn có thể dễ dàng gặp phải những dạng bài quen thuộc đã giải qua rồi, có thể giải bài tập nhanh gọn hơn.

Tự giác trong học tập

Nếu muốn học tốt môn toán nhất thì bạn nhất thiết cần phải có tính tự giác trong học tập, tự mình chiếm lĩnh kiến thức toán học và tự đặt mục tiêu hợp lý cho mình, giải toàn bộ các dạng bài tập từ bài dễ cho tới bài khó, nếu muốn làm được điều này bạn cần tập trung ôn kỹ những kiến thức cơ bản tới nâng cao, tự giác làm nhiều bài tập.

Học kiến thức đơn giản làm nền tảng ban đầu sẽ giúp bạn tiếp thu những kiến thức khó hơn một cách dễ dàng hơn nhiều

Yêu thích đối với môn toán

Một trong những bí quyết học giỏi môn toán khác là bản thân bạn cần có lòng yêu thích đối với môn học này, chỉ khi bạn yêu thích môn học và có đam mê đối với môn học đó thì bạn mới có thể quyết tâm học tốt hơn và cố gắng học tập hiệu quả hơn, khi yêu thích môn toán thì gặp bài tập khó mới càng thúc đẩy sự quyết tâm giải bài tập của bạn, từ đó giúp bạn học giỏi hơn.

Không nên học dồn

Khi học toán điều kiêng kỵ nhất chính là để học dồn, học dồn là giải pháp học tập sai lầm mà bạn tuyệt đối không thể mắc phải.

Thực chất cho dù bạn học môn toán hoặc bất cứ môn học nào khác đều đặc biệt kiêng kỵ việc học dồn, bởi học dồn sẽ không thể nào nắm chắc được những kiến thức mà bạn cần phải học.

Cách học toán giỏi là phải nắm vững kiến thức từ đầu năm tới cuối năm, không phải là học dồn toàn bộ kiến thức chỉ trong vài ngày, việc học dồn không chỉ không đạt được hiệu quả tốt mà còn là cách học cực kỳ có hại đối với sức khỏe của bạn.

 

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Một Số Phương Pháp Phát Hiện Và Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Trong Học Toán

I. Lý do chọn đề tài: Trong cùng một lớp thường có thể có 3 loại đối tượng: Loại bộc lộ nhiều năng lực tức là loại giỏi, loại trung bình và loại kém trong việc học toán. Cả ba loại cùng học một chương trình với những yêu cầu tối thiểu đặt ra theo mục tiêu đào tạo. Những yêu cầu tối thiểu được tính toán trên cơ sở trình độ học sinh trung bình. Vấn đề đặt ra là làm sao loại học sinh giỏi có thể đạt kết quả học tập cao hơn nữa. Để giải quyết vấn đề trên, việc ra thêm bài tập làm ngoài giờ trên lớp (học tăng buổi thứ hai) là một hướng phụ, dễ làm cho học sinh bị “quá tải” trong học tập. Hướng quan trọng và chủ yếu là trên cơ sở những kiến thức và yêu cầu chung quy định trong chương trình, giáo viên hết khai thác khả năng tiềm tàng của học sinh. Từ đó gây lòng tin và hứng thứ trong học tập cho học sinh. II. Mục đích nghiên cứu viết ra đề tài này: 1) Từ lý do chọn đề tài đã nêu trên. Bản thân tôi luôn mong muốn phần nào giúp cho giáo viên của trường hiểu rõ hơn về phương pháp phát hiện và bồi dưỡng đối tượng học sinh giỏi. 2) từ đó cải tiến về phương pháp giảng dạy nhằm đạt hiệu quả tốt hơn khi dạy toán cho đối tượng học sinh khá giỏi. III. Phương pháp nghiên cứu: – Phương pháp quan sát, vấn đáp. – Dạy thực nghiệm, đối chứng kiểm tra kết quả. Phần thứ hai Phương pháp phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi 1) Cơ sở lý luận: Trong chương trình dạy học toán, tôi nhận thấy sách giáo viên chỉ mới hướng dẫn cách dạy cho học sinh biết được kiến thức cơ bản, chưa có cách dạy cho những học sinh có năng khiếu toán học. Các em ở đối tượng này thường tiếp thu nhanh vận dụng tốt các kiến thức toán học, có năng lực suy luận, có tư duy linh hoạt sáng tạo. 2) Cơ sở toán học: Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải hiểu rõ cơ sở toán học hiện đại của nội dung dạy học. Bên cạnh đó giáo viên phải biết vận dụng các phương pháp dạy học, các vấn đề về toán học phù hợp với mục tiêu nội dung của từng bài, từng chương trình học. 3) Phương pháp phát hiện học sinh giỏi: a) Ngay từ đầu năm học chúng ta cần chú ý đến những học sinh nhanh nhẹn, lanh lợi hết nghe lời thầy cô, sau đó kiểm tra bằng biện pháp khác kiểm tra viết, miệng với các yêu cầu khác khác hau để kiểm tra khả năng suy luận, tính toán của học sinh. Ngoài ra thông qua việc trao đổi với học sinh trong lớp và cah mẹ học sinh. b) Việc phát hiện cần tiến hành ngay từ lớp 1 và mỗi năm khi chuyển lớp thì giáo viên lớp cũ cần bàn giao cho giáo viên lớp mới về khả học toán của 1 số học sinh. c) Việc bồi dưỡng cần tiến hành song song với phát hiện thông qua bồi dưỡng và tiếp tục phát hiện mội số ví dụ về phát hiện học sinh giỏi. Ví dụ 1: Anh cho tôi 8 con cừu của anh thì số cừu của ta bằng nhau. Nếu cho tôi 8 con của anh thì số cừu của tôi gấp đôi số cừu của anh? Ví dụ 2: Hai cuộn vải xanh và đỏ có 140 m. Nếu lấy 15m ở cuộn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi cuộn có bao nhiêu mét vải? Ví dụ 3: Có 4 thùng bánh, lấy đi mỗi hòm 9kg thì bánh còn lại bằng số bánh của mỗi thùng lúc đầu. Tính số bánh mỗi hồm lúc đầu? Ví dụ 4: Một hành khách đo được nữa quảng đường thì ngủ thiếp đi khi anh ta tỉnh dạy thì còn phải đo một nữa quảng đường mà anh đã đi qua khi ngủ thiếp. Hỏi trong thời gian ngủ thiếp anh ra đã đi được mấy phần quảng đường? Ví dụ 5: Cha 35 tuổi, con 12 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha gấp 4 lần tuổi con? 4) Phương pháp bồi dưỡng: a) Phương châm: – Phát kết hợp chặt chẽ việc phát triển năng khiếu với giáo dục toàn diện. – Kết hợp bồi dưỡng năng khiếu với nâng cao trình độ chung về toán của học sinh. – Bồi dưỡng năng khiếu toán cần tiến hành qua việc kết hợp dạy chung cho tất cả học sinh và dạy riêng cho những em có năng khiếu toán. – Việc bồi dưỡng cần tiến hành liên tục trong tất cả các lớp và trong suốt năm học ở mỗi lớp. – Kết hợp chặt chẽ giữa gia đình, nhà trường và xã hội. b) Phương pháp bồi dưỡng: – Để phát triển mạnh mẽ năng lực trí tuệ của học sinh ngoài những bài toán theo trình độ chung của lớp cần nêu thêm những câu hỏi, những bài toán rút ra từ những đề thi tuyển chọn học sinh có năng khiếu. Những bài toán có thể phân loại thành 1 số dạng như sau: + Dạng 1: Tự lập rồi giải toán với số liệu đõ cho. Ví dụ: Đặt một đề toán từ dãy phép tính 3 x (100 – 20 + 8 : 2) = + Dạng 2: Nêu bài tập thiếu hoặc thừa dữ kiện. Ví dụ: Một cửa hàng người ta cân khoai tây trong 24 sọt có loại sọt nặng 3 kg và 5 kg trong đó số sọt loại thứ nhất nhiều hơn số sọt loại thứ 2 khối lượng tất cả sọt nặng 5kg bằng tất cả số sọt 3 kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu sọt? (Thừa dữ kiện số sọt loại thứ 1 nhiều hơn số sọt loại thứ 2). + Dạng 3: Bài toán đòi hỏi hiểu sâu về các thuật ngữ khái niệm. Ví dụ: Thi đua vót đũa lớp 2: 26 bó, lớp 1 vót nhiều hớn lớp 5: 5 bó, lớp 1 vót bằng nửa lớp 3, lớp 3 vót ít hơn lớp 4 là 4 bó. Hỏi lấp 4 gấp mấy lần lớp 2. + Dạng 4: Loại toán đòi hỏi tìm đầy đủ hết các lời giải (cách giải) Ví dụ: Hãy viết phép nhân có 2 thừa số có tích là 24. + Dạng 5: Bài toán đòi hỏi sự nhanh trí, suy luận lôgíc. Ví dụ: Cho tam giác ABC, có cạnh BC = 40cm; AC = 30cm, một đường gấp khúc MENDPC chia tam giác ABC thành 6 tam giác bằng nhay (đó là các tam giác AME, MEN, END, NDP, DPC, PBC). Các điểm M, N, P trên cạnh AB; E, A trên cạnh AC. Tính độ dài các đoạn AM, AN, AP, AE, AD. Phần thứ ba Kết luận Qua giảng dạy thực tế. Giáo viên luôn nghiên cứu kỹ bài dạy, xác định rõ mục tiêu bài dạy, phương pháp dạy phù hợp với nội dung bài học. Luôn gần gũi động viên, quan tâm giúp đỡ các em. Liên hệ chặt chẽ với gia đình, hàng tháng lên kế hoạch theo dõi chất lượng học tập và sự tiến bộ của học sinh. Rất mong được sự đóng góp ý kiến bổ sung của đồng nghiệp vào bản sáng kiến được hoàn thiện hơn. Thọ Cường, ngày 7 tháng 4 năm 2006 Người viết sáng kiến Trần Thị Thuý

Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Tiểu Học

Published on

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học từ lớp 1 đến lớp 5. Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG, đăng ký học vui lòng liên hệ Hotline: 0936.128.126.

1. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 1 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN TIỂU HỌC Giáo viên giảng dạy: Thầy Toàn Đăng ký học: 0936.128.126 Website: chúng tôi NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN TIỂU HỌC A. LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY B. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG Toán tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, ôn luyện thi vào lớp 6 các trường chuyên, trọng điểm, vui lòng liên hệ theo số máy: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com

2. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 2 A. LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY §1. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán 1) Biểu hiện của học sinh có năng khiếu – Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với các thay đổi các điều kiện. Vd: “Xếp 5 hình vuông bằng 6 que diêm?” ” Xếp 3 hình tam giác bằng 7 que diêm?” ” Xếp 8 hình tam giác bằng 6 que diêm?” ” Xếp 10 hình tam giác bằng 5 que diêm?” – Có khả năng chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể và từ cụ thể sang trừu tượng khái quát Vd: Cho dãy số 5, 8, 11, 14 … Tính số hạng thứ 2007 của dãy số? + Số hạng thứ hai : 5 + 1 × 3 + Số hạng thứ ba : 5 + 2 × 3 + Số hạng thứ tư : 5 + 3 × 3 + Số hạng thứ năm: 5 + 4 × 3 ………………………………. Hãy so sánh mỗi số hạng với số hạng đầu và khoảng cách của dãy số để tìm ra quy luật? – Có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các dữ kiện theo cả hai hướng xuôi và ngược lại. Vd: + Sự phụ thuộc của tổng các giá trị của các số hạng có thể xác định phụ thuộc của các số hạng vào sự biến đổi của tổng. abc = 20 × (a + b + c) 80 × a = 10 × b + 19 × c  19 × c  10  c = 0  a = 1; b = 8 + Điều kiện một số chia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 và ngược lại? – Thích tìm lời giải một bài toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Vd: Nói chung tích của 2 số tự nhiên là một số lớn hơn mỗi thừa số của nó. Đặt vấn đề tìm các thí dụ phủ định kết luận trên. – Có sự quan sát tinh tế nhanh chóng phát hiện ra các dấu hiệu chung và riêng, nhanh chóng phát hiện ra những chỗ nút làm cho việc giải quyết vấn đề phát triển theo hướng hợp lý hơn độc đáo hơn.

3. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 3 – Có trí tưởng tượng hình học một cách phát triển. Các em có khả năng hình dung ra các biến đổi hình để có hình cùng cùng diện tích, thể tích. – Có khả năng suy luận có căn cứ, rõ ràng. Có óc tò mò, không muốn dừng lại ở việc làm theo mẫu, hoặc những cái có sẵn, hay những gì còn vướng mắc, hoài nghi. Luôn có ý thức tự kiểm tra lại việc mình đã làm. 2) Biện pháp sư phạm: – Thường xuyên củng cố các kiến thức vững chắc cho học sinh và hướng dẫn các em đào sâu các kiến thức đã học thông qua các gợi ý hay các câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào kiến thức trọng tâm bài học: Yêu cầu học sinh tự tìm các ví dụ minh họa, các phản ví dụ dễ (nếu có), các thí dụ cụ thể hóa các tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận dụng và thực hành, kiểm tra các kiến thức tiếp thu, các bài tập đã làm của học sinh. – Tăng cường một số bài tập khó hơn trình độ chung trong đó đòi hỏi vận dụng sâu các khái niệm đã học hoặc vận dụng các cách giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn hoặc phương pháp tổng hợp. – Yêu cầu học sinh giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau nếu có thể. Phân tích so sánh tìm ra cách giải hay nhất, hợp lý nhất. Vd: Bài toán cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn Tính số gà? Số chó? ” – Tập cho học sinh thường xuyên tự lập các đề toán và giải nó. Vd: Lập đề toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu hoặc biết tổng và tỷ số của hai số. – Sử dụng một số bài toán có những chứng minh suy diễn (nhất là toán hình học) để dần dần hình thành và bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học. Vd: Cho ▲ABC có 2 điểm E thuộc AB và F thuộc BC sao cho EA = 3 × EC, FB = 2 × FC; Gọi I là giao điểm của AF và BE; Tính tỷ số IF : IA và IE : IB. – Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử một số nhà toán học xuất sắc đặc biệt là những nhà toán học trẻ tuổi và một số phát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt là tấm gương những nhà toán học trong nước, những học sinh giỏi toán ở địa phương đã thành đạt trong cuộc sống thế nào để giáo dục tình cảm yêu thích môn toán và kính trọng các nhà toán học. – Tổ chức dạ hội toán học, thi đố toán học và nếu có điều kiện tổ chức ” câu lạc bộ các học sinh yêu toán” – Bồi dưỡng cho các em phương pháp học toán và cách tự tổ chức tự học ở nhà cùng gia đình.

4. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 4 – Kết hợp việc bồi dưỡng khả năng học toán với việc học tốt môn Tiếng Việt để phát triển dần khả năng sử dụng ngôn ngữ. §2. SUY LUẬN TOÁN HỌC 1) Suy luận là gì? Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả. Ký hiệu: X1, X2, …, Xn Y Nếu X1, X2, …, Xn  Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic Ký hiệu suy luận logic: 1 2, , …., nX X X Y 2) Suy diễn Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic. – Quy tắc kết luận: ,X Y X Y  – Quy tắc kết luận ngược: ,X Y Y X  – Quy tắc bắc cầu: ,X Y Y Z X Z    – Quy tắc đảo đề: X Y Y X   – Quy tắc hoán vị tiền đề:     X Y Z Y X Z     – Quy tắc ghép tiền đề:  X Y Z X Y Z     – X Y Z X Y    X Y Z X Z    3) Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán. Vd: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 10 = 7 + 3 …………….

5. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 5 Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố. a) Quy nạp không hoàn toàn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ: A1 , A2 , A3 , A4 , A5… An là B A1 , A2 , A3 , A4 , A5… An là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B Vd: 2 + 3 = 3 + 2 4 + 1 = 1 + 4 …… Kết luận: Phép cộng của hai số tự nhiên có tính chất giao hoán b) Phép tương tự: Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d . Vd: + Tính tổng : S = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 1 …. + 3 4 99 100    1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 2 3 ………. 1 1 1 99 100 99 100 1 1 1 100 S             Tương tự tính tổng: P = 1 1 2 3  + 1 2 3 4  + 1 1 …. + 3 4 5 99 100 101      1 1 1 1 = ( – ) 1 2 3 1 2 2 3 2      1 1 1 1 = ( – ) 2 3 4 2 3 3 4 2      ………….

6. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 6 1 1 1 1 = ( – ) 99 100 101 99 100 100 101 2      Từ đây dễ dàng tính đươc P c) Phép khái quát hóa: Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) * 3 2 ? 8 8   Ta có : 3 2 3 2 5 8 8 8 8     Suy ra quy tắc chung về cộng hai phân số cùng mẫu số. * 1 1 ? 2 3   Ta có: 1 1 3 3 2 2 3 6     1 1 2 2 3 3 2 6     Cộng hai phân số : 1 1 3 2 5 2 3 6 6 6     Suy ra quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số. Vd: Chia một tổng cho một số ( Lớp 4) -Tính và so sánh hai biểu thức : (35 + 21) : 7 và 35 : 7 +21 : 7 -Ta có: (35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8 35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8 -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7 – Suy ra quy tắc chung chia một tổng cho một số. c) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó. § 3 Hai phương pháp chứng minh toán học ở Tiểu học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:

7. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 7 Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận Sơ đồ: A  B  C  …  Y  X Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C là hệ quả lôgíc của B; ….. ; X là hệ quả lôgíc của Y. Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng đã biết nào đó thì nó hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. + Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. Ví dụ: Bài toán ” Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và tổng số tuổi của hai bố con là 50 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi của bố gấp 2 lần tuổi của con?” ” Cho tứ giác lồi ABCD và M, N, P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA. Biết diện tích của của MNPQ là 100 cm2 , hãy tính diện tích của rứ giác ABCD? ” 2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. Sơ đồ: X Y  …  B  A Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ….. ; A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. Ví dụ: Bài toán ” Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

8. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 8 B. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN TIỂU HỌC § 1. CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 dư 1. Hd: + Gọi số cần tìm là abc , (a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). Ta có: b = c  2 + 2. Chữ số hàng đơn vị phải lớn hơn 2 ( vì số dư là 2). Chữ số hàng đơn vị cũng không thể lớn hơn 3 (vì nếu chẳng hạn bằng 4 thì b = 4 x 2 + 2 = 10). Vậy suy ra c = 3. + Ta thấy: b = 3 x 2 + 2 = 8. Theo đề bài ta lại có: a = c x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 = 7. Thử lại: 8 = 3  2 + 2; 7 = 3  2 + 1. Bài 2: Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì được 2000. Hd: + Giả sử số đó là 10,,,0;0,  dcbaaabcd Theo đề bài ta có 2000 – abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd . Lập luận để có ab = 19. + Từ đó tìm được c = 8 và d = 1. Thử lại: 2000 – 1981 = 1 + 9 + 8 + 1 = 19. Vậy số cần tìm là 1981. Bài 3: Tìm số tự nhiên A có 2 chữ số, biết rằng B là tổng các chữ số của A và C là tổng các chữ số của B, đồng thời cho biết A = B + C + 51. Hd: + Giả sử A = ab , 0;0 , 10a a b   . Lập luận để có C là số có một chữ số c nên 51 cbaab hay 519  ca Từ 519  ca lập luận để có a = 6. + Từ a = 6 tìm được c = 3. Nên số phải tìm là b6 . Xét lần lượt 60, … , 69 ta thấy chỉ có 66 là cho kết quả c = 3. Thử lại: 12 + 3 + 51 = 66. Vậy 66 là số cần tìm. Bài 4:

10. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 10 Hd: – Lập luận để có thương là số có 3 chữ số, còn số chia là số có 2 chữ số. – Mô phỏng quá trình chia: – Tìm 3 tích riêng tương ứng với 3 lần chia có 3 số dư là 10, 14, 9. + Tích của số chia và chữ số hàng cao nhất của thương là 55 – 10 = 45 + Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 2 của thương là 104 – 14 = 90. + Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 3 của thương 114 – 9 = 135 Trong 3 tích riêng có số 45 là số lẻ và nhỏ nhất nên số chia là số lẻ, mà số 45 chỉ chia hết cho số có 2 chữ số là 45. Vậy số chia là 45, thương là 123. Bài 8: Khi nhân một số tự nhiên với 2008, một học sinh đã quên viết một chữ số 0 ở số 2008 nên tích đúng bị giảm đi 221400 đơn vị. Tìm thừa số chưa biết. Hd: Thừa số đã biết là 2008, nhưng đã viết sai thành 208. Thừa số này bị giảm đi 2008 – 208 = 1800 (đvị). Thừa số chưa biết được giữ nguyên, thừa số đã biết bị giảm đi 1800 đơn vị thì tích bị giảm đi là 1800 lần thừa số chưa biết. Theo đề bài số giảm đi là 221400. Vậy thừa số chưa biết là 221400 : 1800 = 123. Bài 9: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, ta được thương là 28 dư 1. Hd: Gọi số phải tìm là ab , ( 0  a, b < 10, a  0). Ta có ab = (a – b)  28 + 1. Khi đó 0 < a – b < 4 vì nếu không thì ab không phải là số có 2 chữ số. Nếu a – b = 1 thì ab = 29 loại vì a không trừ được cho b. Nếu a – b = 2 thì ab = 57 loại vì a không trừ được cho b. Nếu a – b = 3 thì ab = 85 chọn vì a – b = 8 – 5 = 3. Bài 10: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 20 lần tổng các chữ số của nó. Hd: … 5544 -…. 104 -…. 144 -…. 9 …

11. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 11 Gọi số phải tìm là abc , ( 0  a, b, c < 10, a  0). Theo bài ra ta có: abc = (a + b + c)  20. Vế trái có tận cùng là 0 nên vế phải có tận cùng là 0, hay c = 0. khi đó ta có: 8  a = b suy ra a = 1, b = 8. Thử lại: 180 = (1 + 8 + 0)  20. Bài 11: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. Hd: Gọi số phải tìm là abc , ( 0  a, b, c < 10, a  0). Theo bài ra ta có: abc = 5  a  b  c. Điều này chứng tỏ 5abc  , tức là c = 0 hoặc c = 5. Dễ thấy c = 0 vô lý ( Loại) Với c = 5: Ta có 5 25ab  . Vậy suy ra b = 2 hoặc b = 7. Với b = 2 vô lý (Loại) Với b = 7: Suy ra a = 1. Số phải tìm 175. Bài 12: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta được số mới hơn số đã cho 765 đơn vị. Hd: Gọi số phải tìm là abc, ( 0  a, b, c < 10, a  0). Theo bài ra ta có: cab – abc = 765  11  c = 85 + b + 10  a Vì 85 + b + 10  a  95  11  c  95  c = 9  14 = b + 10  a  a = 1, b = 4. Vậy số phải tìm là 149. Bài 13: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu ta xóa chữ số hàng trăm đi ta được số mới giảm đi 7 lần so với số ban đầu. Hd: Gọi số phải tìm là abc , ( 0  a, b, c < 10, a  0). Theo bài ra ta có: abc = 7 bc a 100 = 6 bc   a 50 = 3 bc    a là bội của 3  a = 3, bc = 50 Vậy số phải tìm là 350 Bài 14:

16. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 16 a) Tính số chữ số đã dùng để viết các số hạng của dãy số đã cho kể từ số hạng đầu tiên đến số hạng 2001. Chữ số thứ 124 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? b) Tính tổng của 203 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Hd: a) [(96 – 11) : 5 + 1]  2 + [(996 – 101) : 5 + 1]  3] + 1  4 = 18  2 + 180  3 + 1  4 = 580. Ta có 18  2 < 124 < 180  3 nên chữ số thứ 124 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 106, …, 996. Chữ số thứ 124 của dãy số đã cho là chữ số thứ 124 – 18  2 = 88 của dãy số 101, 106, …, 996. Ta có 88 : 3 = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 106, …, 996 là chữ số thứ 1 của số hạng thứ 30 của dãy số 101, 106, …, 996. Số hạng thứ 30 là (30 – 1)  5 + 101 = 246. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 2. b) Số hạng thứ 203 là (203 – 1)  5 + 11 = 1021. Tổng là (11 + 1021)  203 : 2 = 104748. Bài 9: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, …, 2009. a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 99 là số hạng nào? b) Chữ số thứ 50 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? Hd: a) Số các số hạng: (2009 – 2) : 3 + 1 = 670. Số hạng thứ 99 là: (99 – 1)  3 + 2 = 296. b) Dãy số 2, 5, 8 có 3 chữ số. Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : 3 + 1]  2 = 60 chữ số. Có 3 < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 của dãy số đã cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98. Chữ số thứ 50 của dãy số đã cho là chữ số thứ 50 – 3 = 47 của dãy số 11, 14, 17, …, 98. Ta có 47 : 2 = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 là chữ số thứ 1 của số hạng thứ 24 của dãy số 11, 14, 17, …, 98. Số hạng thứ 24 là (24 – 1)  3 + 11 = 80. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 8. Bài 10: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, … a) Chữ số thứ 135 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? b) Tính tổng của 200 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Hd: a) Dãy số 1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có 3 + [(97 – 13) : 4 + 1]  2 = 47 chữ số. Dãy số 101, 105, 109, …, 997 có [(997 – 101) : 4 + 1]  3 = 675 chữ số. Vì 47 < 135 < 675 nên chữ số thứ 135 phải nằm trong dãy số 101, 105, …, 997.

17. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 17 Chữ số thứ 135 của dãy số 101, 105, …, 997 là chữ số thứ 135 – 47 = 88 của dãy số 101, 105, …, 997. Ta có: 88 : 3 = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 105, …, 997 là chữ số thứ 1 của số hạng thứ 30 của dãy số 101, 105, …, 997. Số hạng thứ 30 là (30 – 1)  4 + 101 = 217. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 2. b) Số hạng thứ 200 là (200 – 1)  4 + 1 = 797. Tổng là (1 + 797)  200 : 2 = 79800. Bài 11: Cho dãy số 5, 8, 11, … a) Tính tổng của 205 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho? b) Chữ số thứ 135 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? Hd: a) Số hạng thứ 204 trong dãy số là: [(204 – 1)  3] + 5 = 620 Tổng của 204 số hạng đầu của dãy: (620 + 5)  102 = 62500 + 1250 = 63750 Tổng của 204 số hạng đầu của dãy: 63750 + 623 = 64373 b) Số có 1 chữ số trong dãy là: (8 – 5) : 3 + 1 = 2 Số có 2 chữ số trong dãy là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30 Số có 3 chữ số trong dãy là: (998 – 111) : 3 + 1 = 330 Ta có 2  1 + 30  2 < 135 < 330  3 nên chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 104, …, 998. Chữ số thứ 135 của dãy số đã cho là chữ số thứ 135 – 30  2 – 2 = 63 của dãy số 101, 104, …, 998. Ta có 63 : 3 = 21 (dư 0) nên chữ số thứ 63 dãy số 101, 104, …, 998 là chữ số thứ 3 của số hạng thứ 21 của dãy số 101, 104, …, 998. Số hạng thứ 21 là (21 – 1)  3 + 101 = 161. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 1 Bài 12: Tính tổng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + ….. + 98, 99 + 99, 100 Hd: S = (10 + 11 + 12 + ….. + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + ….. + 0, 98 + 0, 99) = [(99  100) : 2 – (9  10) : 2] + [(99  100) : 2 – (9  10) : 2 : 100] = 4905 + 49, 05 = 4954, 05 Bài 13: Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + …… – 1000 + 1001 Hd: S = 1 + (3 – 2) + (5 – 4) + …… + (1001 – 1000) = 1 + 1 + 1 + ……+ 1 = 1 + [(1001 – 2) : 1 + 1] : 2 = 501 Bài 14: Cho dãy số 1 3 , 2 3 3 , 7, 1 10 3 , … a) Xác định số hạng thứ 2009 của dãy số đã cho?

18. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 18 b) Trong 2009 số hạng đầu của dãy có bao nhiêu số tự nhiên? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó? Hd: a) Ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách d = 10 3 Vậy số hạng thứ 2009 trong dãy số trên là: 10 1 20081 (2009 – 1) + = 3 3 3  b) Số hạng thứ 2007 trong dãy số trên là: 10 1 (2007 – 1) + = 669 3 3  Dãy số tự nhiên có trong 2009 số hạng đầu của dãy là: 7, 17, 27, …, 669 Từ đây dễ dàng suy ra kết quả với dãy số tự nhiên cách đều Bài 15: a) Tìm x biết: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155 b) Tính tổng: S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 – ….. – 7, 8 – 8, 9 Hd: a) Ta có: x + 1 + x + 4 + x + 7 + …… + x + 28 = 155 (x + x + ….. + x) + (1 + 4 + 7 + ….. + 28) = 155 10  x + 145 = 155 x = 1 b) Ta có: S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 – ….. – 7, 8 – 8, 9 = (2, 1 – 1, 2) + (3, 2 – 2, 3) + ….. (8, 7 – 7, 8) + (9, 8 – 8, 9) = 1, 1  8 = 8, 8 § 3. TOÁN VỀ TUỔI Bài 1: Năm nay, tuổi cô gấp 8 lần tuổi cháu. Mười hai năm sau, tuổi cô gấp 2, 4 lần tuổi cháu. Tính tuổi của hai cô cháu hiện nay. Hd: Hiệu số tuổi của hai cô cháu hiện nay là: 8 – 1 = 7 (lần tuổi cháu hiện nay) Hiệu số tuổi của hai cô cháu khi tuổi cô gấp 2, 4 lần tuổi cháu là 2, 4 – 1 = 1, 4 (lần tuổi cháu lúc đó) Vì hiệu số tuổi của 2 cô cháu không thay đổi theo thời gian nên: 7 lần tuổi cháu hiện nay = 1, 4 lần tuổi cháu lúc đó.

19. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 19 Hay cách khác: 1lần tuổi cháu hiện nay = 0, 2 lần tuổi cháu lúc đó Ta có sơ đồ: Tuổi cháu hiện nay là 12 : (5 – 1) 1 = 3 (tuổi) Tuổi cô hiện nay là 3  8 = 24 (tuổi) Bài 2: Hiện nay tuổi cha gấp 5 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 17 lần tuổi con.Tính tuổi của cha và của con hiện nay. Hd: Hiệu số tuổi của hai cha con hiện nay là: 5 – 1 = 4 (lần tuổi con hiện nay) Hiệu số tuổi của hai cha con khi tuổi cha gấp 17 lần tuổi con là 17 – 1 = 16 (lần tuổi con lúc đó) Vì hiệu số tuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian nên: 4 lần tuổi con hiện nay = 16 lần tuổi con khi đó. Hay cách khác: 1lần tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con lúc đó Ta có sơ đồ: Tuổi con hiện nay là: 6 : (4 – 1)  4 = 8 (tuổi) Tuổi cô hiện nay là : 8  5 = 40 (tuổi) Bài 3: Năm nay tuổi của 2 cha con cộng lại bằng 36. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi con bằng 5 9 tuổi cha lúc đó. Tìm tuổi 2 cha con hiện nay. Hd: Nếu coi tuổi con sau này là 5 phần thì tuổi cha sau này là 9 phần như thế. Khi đó hiệu số tuổi của 2 cha con là 9 – 5 = 4 (phần) Vì hiện nay tuổi cha bằng tuổi con sau này nên hiện nay tuổi cha chiếm 5 phần mà hiệu số tuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian (hiệu là 4 phần) nên số phần tuổi con là 5 – 4 = 1(phần). Do đó hiện nay số phần tuổi của 2 cha con là 5 + 1 = 6 (phần) Ta có sơ đồ: Tuổi cháu hiện nay: Tuổi cháu sau 12 năm: Tuổi con hiện nay: Tuổi con trước 6 năm: Tuổi cha sau này: 36 tuổiTuổi cha hiện nay: Tuổi con sau này: Tuổi con hiện nay:

20. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 20 Vậy tuổi con hiện nay là 36 : 6 = 6 (tuổi). Tuổi cha hiện nay là 36 – 6 = 30 (tuổi). Bài 4: Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm về trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi? Hd: Tuổi bố hiện nay hơn tuổi con số lần là: 2, 2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay). Tuổi bố cách đây 25 năm hơn tuổi con số lần là 8, 2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc đó). Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi con hiện nay = 7,2 lần tuổi con lúc đó. Tuổi con hiện nay gấp tuổi con 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = 6 (lần). Ta có sơ đồ: Tuổi con hiện nay là: 25 : (6 – 1)  6 = 30 (tuổi). Tuổi bố hiện nay là : 30  2,2 = 66 (tuổi). Hiệu số tuổi của 2 bố con hiên nay là: 66 – 30 = 36 (tuổi) Ta có hiệu số tuổi của 2 bố con khi tuổ khi bố gấp 3 lần tuổi con là 2 lần tuổi con khi đó. Do đó 2 lần tuổi con sau này = 36 tuổi Vậy tuổi con khi đó là: 36 : 2 = 18 (tuổi) Bài 5: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi của cha và của con hiện nay Hd: Ta có: Hiệu số tuổi của 2 cha con hiên nay là 3 lần tuổi con hiện nay Hiệu số tuổi của 2 cha con trước đây 6 năm là 12 lần tuổi con khi đó Vậy: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước đây. Ta có sơ đồ: Tuổi con trước đây là 6 : (4 – 1)  1 = 2 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 2 + 6 = 8 (tuổi) Tuổi cha hiện nay là : 8  4 = 32 (tuổi). Bài 6: Tuổi bà năm nay gấp 4,2 lần tuổi cháu. Mười năm về trước, tuổi bà gấp 10,6 lần tuổi cháu. Tính tuổi bà và tuổi cháu hiện nay. Hd: Tuổi con hiện nay: Tuổi con trước đây: 25 6 Tuổi con trước đây: Tuổi con hiện nay:

21. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 21 Vì hiệu số tuổi của hai bà cháu không thay đổi theo thời gian nên 3,2 lần tuổi cháu hiện nay = 9,6 lần tuổi cháu 10 năm trước. Hay tuổi cháu hiện nay = 3 lần tuổi cháu 10 năm trước. Vậy tuổi cháu hiện nay là: (10 : 2)  3 = 15 (tuổi). Tuổi bà hiện nay là :15  4,2 = 63 (tuổi) Bài 7: Năm nay, tuổi bác gấp 3 lần tuổi cháu. Mười lăm năm về trước, tuổi bác gấp 9 lần tuổi cháu. Hỏi khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì cháu bao nhiêu tuổi? Hd: Tuổi bác hiện nay hơn tuổi cháu số lần là: 3 – 1 = 2 (lần tuổi cháu hiện nay). Tuổi bác cách đây 15 năm hơn tuổi cháu số lần là 9 – 1 = 8 (lần tuổi cháu lúc đó). Vậy suy ra: 2 lần tuổi cháu hiện nay = 8 lần tuổi cháu lúc đó. Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 4 lần tuổi cháu lúc đó. Tuổi cháu hiện nay là: 15 : (4 – 1)  4 = 20 (tuổi). Tuổi bác hiện nay là: 20  3 = 60 (tuổi). Khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì tuổi cháu là: 40 : 2  1 = 40 (tuổi). Bài 8: Năm nay, tuổi mẹ gấp 2,5 lần tuổi con. Nhưng 6 về trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi của 2 mẹ con hiện nay? Hd: Hiệu số tuổi của 2 mẹ con hiện nay là: 2,5 – 1, 5 = 1,5 (lần tuổi con hiện nay). Hiệu số tuổi của 2 mẹ con trước đây 6 năm là: 4 – 1 = 3 (lần tuổi con lúc đó). Vậy suy ra: 1, 5 lần tuổi con hiện nay = 3 lần tuổi con trước đây. Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 2 lần tuổi cháu lúc đó. Ta có sơ đồ: Tuổi con hiện nay là: 6 : (2 – 1)  2 = 12 (tuổi). Tuổi mẹ hiện nay là: 12  2,5 = 30 (tuổi). Bài 9: Năm nay anh 27 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của anh bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi của anh chỉ bằng nửa tuổi của anh khi đó. Tính tuổi của em hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây Hiệu số tuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1) lần tuổi của em trước đây. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em hiện nay: Tuổi anh hiện nay: 6 Tuổi con trước đây: Tuổi con hiện nay:

22. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 22 Tuổi của em hiện nay là: 27 : 3  2 = 18 (tuổi) Bài 10: Hiện nay tổng số tuổi của 2 anh và em là 20 tuổi. Biết rằng tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em khi anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây Hiệu số tuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1) lần tuổi của em trước đây. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi của em hiện nay là: 20 : (3 + 2) 2 = 8 (tuổi) Tuổi của anh hiện nay là: 20 – 8 = 12 (tuổi) Bài 11: Hiện nay tổng số tuổi của 2 anh và em là 15 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của anh hiện nay thì tuổi của anh gấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của anh sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này Tuổi của anh hiện nay bằng tuổi của em sau này Hiệu số tuổi của 2 anh em sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi của em hiện nay là: 15 : (1 + 2) 2 = 6 (tuổi) Tuổi của anh hiện nay là: 15 – 6 = 9 (tuổi) Bài 12: Hiện nay An nhiều hơn Bình 14 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi tuổi của Bình bằng tuổi của An hiện nay thì tuổi của An bằng 3 5 lần tuổi của Bình khi đó. Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em hiện nay: Tuổi anh hiện nay: 20 Tuổi em hiện nay: Tuổi anh hiện nay: Tuổi em sau này: Tuổi anh sau này: 15

23. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 23 Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của An sau này bằng 3 5 lần tuổi của Bình sau này Hiệu số tuổi của 2 người sau này bằng 5 2 – 1 = 3 3 lần tuổi của Bình sau này Tuổi của An hiện nay bằng 1 lần tuổi của Bình sau này Suy ta tuổi của Bình hiện nay bằng 2 1 1 – = 3 3 lần tuổi của Bình sau này Vậy ta có sơ đồ như sau: Theo sơ đồ trên ta có: Tuổi của An hiện nay là: 14 : (3 – 1) × 3 = 21 (tuổi) Tuổi của Bình hiện nay là: 14 : (3 – 1) × 1 = 7 (tuổi) Bài 13: Hiện nay Hùng nhiều hơn Minh 12 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi tuổi của Minh bằng tuổi của Hùng hiện nay thì tuổi của Minh bằng 5 3 lần tuổi của Hùng khi đó. Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của Hùng sau này bằng 3 5 lần tuổi của Minh sau này Hiệu số tuổi của 2 người sau này bằng 5 2 – 1 = 3 3 lần tuổi của Minh sau này Tuổi của Hùng hiện nay bằng 1 lần tuổi của Minh sau này Suy ta tuổi của Minh hiện nay bằng 2 1 1 – = 3 3 lần tuổi của Minh sau này Vậy ta có sơ đồ như sau: Theo sơ đồ trên ta có: Tuổi của Hùng hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 3 = 18 (tuổi) Tuổi của Minh hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 1 = 6 (tuổi) Tuổi Bình hiện nay: Tuổi An hiện nay: Tuổi Bình sau này: Tuổi An sau này: 14 Tuổi Minh hiện nay: Tuổi Hùng hiện nay: Tuổi Minh sau này: Tuổi Hùng sau này: 12

24. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 24 Bài 14: Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và tổng số tuổi của 2 bố con là 50 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa tuổi bố gấp 2 lần tuổi con? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của bố hiện nay là: 50 : (4 + 1) × 4 = 40 (tuổi) Tuổi của con hiện nay là: 50 : (4 + 1) × 1 = 10 (tuổi) Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay là 40 – 10 = 30 (tuổi) Hiệu số tuổi của 2 bố con sau này bằng 1 lần tuổi của con sau này Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 1 lần tuổi của con sau này bằng 30 tuổi. Do đó có sơ đồ về mối quan hệ giữa tuổi con hiện nay và sau này như sau: Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 – 1) 1 = 10 (tuổi) Vậy số năm sau đó để tuổi bố gấp 2 lần tuổi con là: 30 – 10 = 20 (năm) Bài 15: Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và sau 20 năm nữa tuổi của bố gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi của hai bố con hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay bằng 3 lần tuổi của con hiện nay Hiệu số tuổi của 2 bố con sau 20 năm bằng 1 lần tuổi của con khi đó Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 3 lần tuổi của con hiện nay bằng 1 lần tuổi của con sau 20 năm. Do đó có sơ đồ về mối quan hệ giữa tuổi con hiện nay và sau này như sau: Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 – 1) 1 = 10 (tuổi) Tuổi của bố hiện nay là: 10 × 4 = 40 (tuổi) Bài 16: Hiện nay tổng số tuổi của 2 bố con là 50 tuổi gấp và biết rằng sau 20 năm nữa tuổi của bố gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi của hai bố con hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tổng số tuổi của 2 bố con hiện nay bằng 50 tuổi Vậy tổng số tuổi của 2 bố con sau 20 năm là: 2 × 20 + 50 = 90 (tuổi) Tuổi con hiện nay: Tuổi con sau 20 năm: 20 năm

25. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 25 Mà sau 20 năm tuổi bố gấp 2 lần tuổi con. Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng toán tìm 2 số khi biết tổng bằng 90 và tỷ số là 1 2 . Do đó ta tính được tuổi con sau 20 năm như sau: Tuổi của con sau 20 năm là: 90 tuổi : ( 2 + 1) × 1 = 30 (tuổi) Tuổi của con hiện nay là: 30 – 20 = 10 (tuổi) Tuổi của bố hiện nay là: 50 – 10 = 40 (tuổi) Bài 17: Hiện nay chị hơn em 7 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chị hiện nay thì tuổi của chị gấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của chi sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này Tuổi của chị hiện nay bằng tuổi của em sau này Hiệu số tuổi của 2 chị em sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi, nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi của em hiện nay là: 7 : (2 – 1) 1 = 7 (tuổi) Tuổi của anh hiện nay là: 7 + 7 = 14 (tuổi) Bài 18: Năm nay chị 25 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của chị bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi của em chỉ bằng 1 3 tuổi của chị khi đó. Tính tuổi của em hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của chị trước đây gấp 3 lần tuổi của em trước đây Tuổi của em hiện nay gấp 3 lần tuổi của em trước đây Hiệu số tuổi của 2 chị em trước đây tuổi bằng 2 lần tuổi của em trước đây. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của chị hiện nay gấp (3 + 2) lần tuổi của em trước đây. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi của em hiện nay là: 25 : 5  3 = 15 (tuổi) Tuổi em hiện nay: Tuổi chị hiện nay: Tuổi em sau này: Tuổi chị sau này: 7 Tuổi em trước đây: Tuổi chị trước đây: Tuổi em hiện nay: Tuổi chị hiện nay: 25

26. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 26 Bài 19: Năm nay em 4 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của em bằng tuổi của chị hiện nay thì tuổi của em chỉ bằng 3 5 tuổi của chị khi đó. Tính tuổi của chị hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của chị sau này bằng 5 3 lần tuổi của em sau này Tuổi của chị hiện nay bằng 1 lần tuổi của em sau này Hiệu số tuổi của 2 chị em sau này tuổi bằng 5 2 – 1 = 3 3 lần tuổi của em sau này. Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 2 1 1 – = 3 3 lần tuổi của em sau này. Do đó có sơ đồ sau: Tuổi của chị hiện nay là: 4 : 1  3 = 12 (tuổi) Bài 20: Hiện nay chị hơn em 6 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chị hiện nay thì tuổi của chị gấp 3 lần tuổi của em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi chị hiện nay bằng tuổi em sau này. Hiệu số tuổi của 2 chị em hiện nay và sau này đều bằng 6 tuổi. Do đó suy ra: Suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = Tuổi của chị sau này Mà ta biết rằng: Tuổi của chị sau này gấp 3 lần tuổi em hiện nay. Vậy suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = 3 × Tuổi của em hiện nay  2 × Tuổi của em hiện nay = 12 (tuổi)  Tuổi của em hiện nay là: 12 : 2 = 6 (tuổi) Tuổi của chị hiện nay là: 6 + 6 = 12 (tuổi) Bài 21: Tính tuổi của hai anh em hiện nay. Biết rằng 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi và 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi Hd: Theo bài ra ta có: 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi  100% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 14 tuổi Mà 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi Tuổi em hiện nay: Tuổi chị hiện nay: Tuổi em sau này: Tuổi chị sau này: 4 Tuổi của em hiện nay + 6 tuổi = Tuổi của em sau này Tuổi của em sau này + 6 tuổi = Tuổi của chị sau này

27. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 27  100% – 62,5% = 37,5% tuổi anh là 14- 2 = 12 tuổi Vậy tuổi anh là: 12 : 37,5 × 100 = 32 (tuổi) 75% tuổi em hiện nay là: 32 – 14 = 18 (tuổi) Tuổi em hiện nay là: 18 : 75 × 100 = 24 (tuổi) § 4. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Bài 1: Hai thành phố cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ một người đi xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ bề B, lúc 7 giờ một người đi xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km? Hd: Khi người thứ 2 xuất phát thì người thứ nhất cách B là 186 – 30 = 156 (km). Quãng đường 2 người đi được trong 1 giờ là 30 + 35 = 65 (km). Thời gian để 2 người gặp nhau là 242)( 5 2 265:156 h h  phút. 7h + 2h 24 = 9h 24. Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ 24 phút. Quãng đường từ A đến địa điểm gặp nhau là )(10230 5 2 230 km . Bài 2: Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 60 km thì ô tô sẽ đến B lúc 14 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40 km thì ô tô sẽ đến B lúc 16 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 15 giờ? Hd: Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 40 km/h gấp 1, 5 lần thời gian đi với vận tốc 40 km/h. Ta có sơ đồ sau: Quãng đường AB dài là 60  2  2 = 240 (km). Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ôtô phải chạy 240 : 5 = 48 (km) Bài 3: Một ô tô chạy từ A đến B mất 2 giờ. Một xe máy chạy từ B đến A mất 3 giờ. Hãy tính quãng đường AB, biết vận tốc của ô tô hơn vận tốc của xe máy là 20km/giờ. Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì chúng gặp nhau tại cùng một địa điểm cách A bao nhiêu km? Hd: 30 km 156 km C BA 2 giờ Thời gian đi với vận tốc 60 km/h: Thời gian đi với vận tốc 40 km/h:

28. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 28 Tỉ số thời gian của ô tô và xe máy là 2 3 . Do trên cùng một quãng đường thời gian tăng lên bao nhiêu lần thì vận tốc giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có sơ đồ: Vận tốc xe máy: Vận tốc ô tô: Vận tốc ô tô là : 20  3 = 60 (km/giờ). Vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/giờ). Quãng đường AB là 60  2 = 120 (km). Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sẽ gặp nhau sau một thời gian là 120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ) Địa điểm gặp nhau cách A là 60  1,2 = 70 (km). Bài 4: Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 55 km thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 45 km thì ô tô sẽ đến B lúc 17 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ? Hd: Tỉ số vận tốc của ô tô và xe máy đi trên quãng đường AB là 55 11 45 9  . Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 45 km/h bằng 11 9 lần thời gian đi với vận tốc 55 km/h . Do đó ta có sơ đồ: Thời gian đi với vận tốc 55 km/h: Thời gian đi với vận tốc 45 km/h: Quãng đường AB dài là 55  (2 : 2)  9 = 495 (km). Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ô tô phải chạy 495 : 10 = 49,5 (km). Bài 5: Một ô tô đi từ A qua B đến C hết 8 giờ. Thời gian đi từ A đến B gấp 3 lần đi từ B đến C và quãng đường từ A đến B dài hơn từ B đến C là 130 km. Biết rằng muốn đi được đúng thời gian đã định, từ B đến C ô tô phải tăng vận tốc thêm 5 km một giờ. Hỏi quãng đường BC dài bao nhiêu km? Hd: Theo bài ra ta có:Trên quãng đường AB = BC + 130 km ô tô đi với vận tốc v1 trong 6 giờ, còn trên quãng đường BC ô tô đi với vận tốc v2 trong 2 giờ. Do đó suy ra ô tô đi với vận tốc v1 trong 2 giờ đi được quãng đường bằng quãng đường BC bớt đi là: 5  2 = 10 km Vậy ô tô đi với vận tốc v1 trong 4 giờ đi được quãng đường tương ứng là: 130 + 10 = 140 (km). Vận tốc ban đầu của ô tô là: 140 : 4 = 35 (km/h) Quãng đường BC là 80 km. 2 giờ 20 km/h A v1 8 giờ v2= v1+5km B C

29. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 29 Bài 6: Lúc 5 giờ 30 phút, một người đi xe máy khởi hành từ tỉnh A với vận tốc 40km/giờ và đến tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút, người đó nghỉ lại tỉnh B là 30 phút rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ. Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi xe đạp khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 10km/giờ. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km? Hd: Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là: 8 giờ 15 phút – 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2,75 giờ. Quãng đườmg từ A đến B là: 40  2,75 = 110 (km) Người đi xe máy rời tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là: 8 giờ 45 phút – 7 giờ 45 phút = 1 giờ. Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10km. Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau là 110 – 10 = 100 (km). Thời gian hai người gặp nhau là: 100 : (40 + 10) = 2 (giờ) Hai người gặp nhau lúc 8 giờ 45 phút + 2 = 10 giờ 45 phút. Chỗ gặp nhau cách B là: 40 × 2 = 80 (km). Bài 7: Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ 20 phút. Xe thứ hai đi từ B đến A hết 2 giờ 48 phút. Biết rằng hai xe cùng khởi hành và sau 1 giờ 15 phút thì chúng còn cách nhau 25 km. Tính vận tốc mỗi xe. Hd: Đổi đơn vị thời gian: 3 giờ 20 phút = 200 phút = 10/3 giờ; 2 giờ 48 phút = 168 phút = 14/5 giờ; 1 giờ 15 phút = 75 phút; + Tính phân số chỉ phần đường đi được sau 75 phút của hai xe là:  200 75  168 75 28 23 56 25 8 3  (quãng đường AB). + Tính phân số chỉ phần đường còn lại là 28 23 5 28 28 28   (quãng đường AB). + Vì 5 28 quãng đường AB biểu thị 25km nên quãng đường AB dài là: 25 : 5  28 = 140 (km). + Vận tốc của xe thứ nhất là )/(42 3 10 :140 hkm . + Vận tốc của xe thứ hai là )/(50 3 14 :140 hkm . Bài 8: Hai bạn Việt và Nam đi xe đạp xuất phát cùng lúc từ A đến B, Việt đi với vận tốc 12 km/giờ, Nam đi với vận tốc 10 km/giờ. Đi được 1, 5 giờ, để đợi Nam, Việt đã giảm vận tốc xuống còn 7 km/giờ. Tính quãng đường AB, biết rằng lúc gặp nhau cũng là lúc Việt và Nam cùng đến B. Hd:

30. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 30 Sau 1,5 giờ Việt cách xa Nam là 12  1, 5 – 10  1, 5 = 18 – 15 = 3 (km). Lúc đó Việt đi với vận tốc 7 km/giờ và Nam đi với vận tốc 10 km/giờ nên thời gian chuyển động để Nam đuổi kịp Việt là 3 : (10 – 7) = 1 (giờ). Quãng đường AB dài là 18 + 7  1 = 25 (km). Bài 9: Một ca nô xuôi một khúc sông hết 3 giờ và ngược khúc sông đó hết 5 giờ. Tính chiều dài khúc sông, biết vận tốc dòng nước là 50 m/ ph. Hd: Ta thấy: Mỗi giờ ca nô xuôi dòng được 1 3 khúc sông và mỗi giờ ca nô ngược dòng được 1 5 khúc sông. Mỗi giờ dòng nước xuôi được 1 1 1 ( ) : 2 3 5 15   (khúc sông) Thời gian dòng nước xuôi từ A đến B là 1 1 : 15 15  (giờ) Vì 50m/ph = 3km/h nên khúc sông dài là 3  15 = 45(km). Bài 10: Một đoàn tàu chạy ngang qua một cột điện hết 10 giây. Cùng với vận tốc đó, đoàn tàu chạy ngang qua một đường hầm dài 210 m hết 52 giây. Tính chiều dài và vận tốc tàu. Hd: Trong khoảng thời gian 10 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu Trong khoảng thời gian 52 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu cộng với chiều dài hầm(210 m). Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường 210 m là: 52 – 8 = 42 (giây). Vận tốc tàu là: 210 : 42 = 5(m/s) (= 18km/h) Chiều dài đoàn tàu là: 5  10 = 40 (m). Bài 11: Một hành khách ngồi trên một chiếc xe lửa đang chay với vận tốc 36km/h nhìn thấy một chiếc xe lửa tốc hành dài 75 mét đi ngược chiều qua mặt mình hết 3 giây. Tính vận tốc của xe lửa tốc hành. Hd: Đổi đơn vị: 36 km/h = 10 m/s Trong khoảng thời gian 3 giây người ngồi trên xe lửa đi được quãng đường là: 10  3 = 30 (m) Trong khoảng thời gian 3 giây xe lửa tốc hành đi được quãng đường là chiều dài tàu trừ đi 30 m.Vậy vận tốc của xe lửa tốc hành là: (75 – 30) : 3 = 15(m/s) = 54( km/h) Bài 12: 3 s 3 s 75 m 30 m

31. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 31 Một xe lửa chạy qua một cầu dài 181 mét hết 47 giây. Biết cùng vận tốc ấy xe lửa lướt qua một người đi bộ ngược chiều trong 9 giây. Tính vận tốc và chiều dài xe lửa, biết vận tốc người đi bộ là 1 m/s. Hd: Trong khoảng thời gian 47 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa cộng chiều dài cầu (181m) Trong khoảng thời gian 9 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài tàu bớt đi 9 m, tức là nếu thêm vào 9 m thì xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa. Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường (181 + 9) = 190 m là: 47 – 9 = 38 (s) Vận tốc của xe lửa là: 190 : 38 = 5 (m/s) = 18 (km/h) Chiều dài của xe lửa là: 5  9 = 45 (m) Bài 13: Một người đi xe máy từ A tới B hết một khoảng thời gian dự định nào đó. Biết rằng nếu đi với vận tốc 30 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu đi với vận tốc 20 km/h thì đến B chậm 1 giờ. Tính quãng đường AB? Hd: Trên cùng quãng đường AB ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc: 1 2 2 1 t v 20 = = t v 30 Mà dễ thấy: t2 – t1 = 2 (h). Đến đây đưa về bài toán tìm 2 số có tỷ số là 2 3 và có hiệu bằng 2. Suy ra được quãng đường AB là: 120 km. Bài 14: Một ôtô đi từ thành phố A tới thành phố B hết 10 giờ. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc 40 km/h, khi tới vị trí còn cách 100 km nữa được nửa quãng đường thì ôtô tăng vận tốc lên thành 60 km/h để về đến B đúng hẹn. Tính vận tốc trung bình của ôtô đi từ A tới B? Hd: 9 s 9 s 9 m 47 s 181 m v1=30 km ? km 20 km 30 km v2=20 km A BC D B ? km 100 kmA CD 100 km E t1, v1 =40km/h t2, v2 =60km/h

32. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 32 Gọi C là điểm giữa quãng đường AB, D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = 100 km. Lấy điểm E thuộc đoạn CB sao cho CE = 100 km. Dễ dàng suy ra AD = EB. Trên 2 quãng đường bằng nhau này ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc, tức là: 1 2 2 1 t v 60 = = t v 40 Mà dễ thấy: 1 2 200 t + t = 60 . Từ đây dễ dàng tính được t1, t2 , suy ra quãng đường AD và quãng đường AB bằng 520 km. Bài 15: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 12 giờ đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1, 5 lần lượng nước vòi 2 chảy vào bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? Hd: Theo bài ra ta có: + v1 = 1, 5  v2 + v1 + v2 = 1 12 Từ đây dễ dàng tính được 1 1 v 20  (bể)và 2 1 v 30  (bể) Vậy suy ra vòi 1chảy một mình trong 20 giờ sẽ đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 30 giờ sẽ đầy bể. Bài 16: Một vòi nước chảy vào 1 bể không chứa nước, cùng lúc đó có vòi chảy ra. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi chảy ra bằng 4 5 lần lượng nước vòi chảy vào bể và sau 5 giờ lượng nước trong bể đạt tới 1 8 dung tích của bể. Hỏi nếu không có vòi chảy ra mà chỉ có vòi chảy vào thì trong thời gian bao lâu sẽ đầy bể? Hd: Theo bài ra ta có: + vra = 4 5  vvào + vvào – vra = 1 40 Từ đây dễ dàng tính được vvào = 1 40  5 = 1 8 (bể) Vậy suy ra vòi vào chảy một mình trong 8 giờ sẽ đầy bể. Bài 17:

33. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 33 Người ta dùng hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước. Nếu cho 2 vòi cùng chảy vào bể thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu cho vòi 1 chảy trong 2 giờ và vòi 2 chảy trong 5 giờ thì cũng đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? Hd: Theo bài ra ta có tổng vận tốc của 2 vòi là: v1 + v2 = 1 3 (bể) Lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 2 giờ là: 1 2 2 = 3 3  (bể) Lượng nước vòi 2 chảy trong 3 giờ là: 2 1 1 – = 3 3 (bể) Vận tốc của vòi 2 là: 1 1 : 3 = 3 9 (bể) Vận tốc của vòi 1 là: 1 1 2 – = 3 9 9 (bể) Bài 18: Một chiếc đồng hồ 3 kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 1 giờ đúng thì kim giờ trỏ số 1 còn kim phút trỏ số 12. Hỏi khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau? Cho biết thời điểm đó là mấy giờ? Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau là: 1 1 1 : [1 – ] = 12 12 11 (giờ) Thời điểm gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau là: 1 1 + 1 = 1 11 11 (giờ) Bài 19: Một chiếc đồng hồ 3 kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 1 giờ đúng thì kim giờ trỏ số 1 còn kim phút trỏ số 12. Hỏi khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau? Cho biết thời điểm đó là mấy giờ? Hd: Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, ta có: vh = 1 12 vòng/h, vf = 1 vòng/h Khoảng cách giữa 2 kim lúc 1 giờ đúng là 1 12 vòng Hd: Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, ta có: vh = 1 12 vòng/h, vf = 1 vòng/h Khoảng cách giữa 2 kim lúc 1 giờ đúng là 1 12 vòng

34. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 34 Khoảng cách giữa 2 kim lúc 2 kim vuông góc là 1 4 vòng Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau tính từ lúc trùng nhau là: 1 1 3 : [1 – ] = 4 12 11 (giờ) Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau tính từ lúc 1 giờ đúng là: 3 1 4 + = 11 11 11 (giờ) Thời điểm gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là: 4 4 + 1 = 1 11 11 (giờ) Bài 20: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Đi từ A đến B ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 giờ.Tính vận tốc của ca nô và ô tô, biết vận tốc của ca nô kém vận tốc ô tô 17 km/h. Hd: Sau 2 giờ ca nô tới vị trí còn cách B tính theo đường bộ là: 17 × 2 = 34 (km) Sau 2 giờ ca nô tới vị trí còn cách B tính theo đường sông là: 34 – 10 = 24 (km) Vận tốc của ca nô là: 24 : 1 giờ 20 = 18 (km/h) Bài 21: Anh Hùng đi xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo con đường dài 48 km. Lúc trở về anh Hùng đi theo đường tắt dài 35 km. Đường tắt khó đi nên vận tốc lúc về chỉ bằng 5 6 vận B 1/12 A DC 1/4 E 10 km Đường bộ: A BC A Đường sông: B 2 giờ Ô tô Ca nô 2 × 17 = 34 km 1 giờ 20

35. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 35 tốc lúc đi, tuy nhiên thời gian lúc về vẫn ít hơn thời gian lúc đi là 1 2 giờ. Tính vận tốc lúc đi của anh Hùng? Hd: Quy về cùng thời gian lúc về của anh Hùng: + Thời gian lúc về, vận tốc lúc về thì anh Hùng đi được quãng đường 35 km. + Thời gian lúc về, vận tốc đi (vận tốc lúc về bằng 5 6 vận tốc lúc đi) thì anh Hùng đi được quãng đường bằng bao nhiêu km? Vì trong cùng thời gian thì quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh Hùng đi được trong cùng thời gian lúc về và với vận tốc lúc đi là: 35 : 5 6 = 42 (km) Vận tốc của anh Hùng lúc về là: (48 – 42) : 1 2 = 12 (km/h) Bài 22: Nhà anh H cách trung tâm thành phố 175 km, nhà anh T cách trung tâm thành phố 220 km. Biết vận tốc tới trung tâm thành phố của anh H chỉ bằng 7 8 vận tốc của anh T, tuy nhiên thời gian tới trung tâm thành phố của anh H vẫn ít hơn thời gian gian tới trung tâm thành phố của anh T là 1 2 giờ. Tính vận tốc tới trung tâm thành phố của anh H là bao nhiêu? Hd: Quy về cùng thời gian lúc về của anh H: + Thời gian của H, vận tốc của anh H thì anh H đi được quãng đường 175 km. + Thời gian của H, vận tốc của anh T (vận tốc của anh H bằng 7 8 vận tốc của anh T) thì anh T đi được quãng đường bằng bao nhiêu km? Vì trong cùng thời gian thì quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh T đi được trong cùng thời gian của anh H và với vận tốc của anh T là: 175 : 7 8 = 200 (km) 13 km Đg lúc đi: A B A Đg lúc về : B 48 km 35 km Đg anh T: A B A Đg anh H: B 220 km 175 km

36. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 36 Vận tốc của anh Hùng lúc về là: (220 – 200) : 1 2 = 40 (km/h) Bài 23: Một máy bay dự trữ nhiên liệu để bay trong 6 giờ với vận tốc 330 km/h khi trời không có gió. Khi cất cánh thì trời có gió với vận tốc gió là 30 km/h. Biết rằng khi đi trời ngược gió và khi quay trở về sân bay thì trời xuôi gió. Hỏi khoảng cách mà máy bay đã tới cánh sân bay bao nhiêu km để khi quay về tới sân bay lúc cất cánh thì vừa hết nhiên liệu? Hd: Theo bài ra ta có: tđi + tve = 6 (giờ) di di ve ve ve di v 300 t v 12 6 = = = = v 360 t v 10 5  Đến đây ta đã đưa về dạng toán tìm 2 số biết tổng bằng 6 và tỷ số bằng 5 6 . Do đó ta suy ra thời gian lúc đi là: 6 : (6 + 5) × 6 = 36 11 (giờ) Quãng đường mà máy bay đi được là: 300 × 36 11 = 10800 11 (km) Bài 24: Một đội máy cày dự định cày một diện tích ruộng theo kế hoạch với vận tốc 40 ha mỗi ngày. Khi thực hiện đội đã cày 52 ha mỗi ngày, vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày và còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng phải cày theo kế hoạch? Hd: Theo bài ra ta có: Diện tích đội đã cày hết thời gian dự định vượt so với diện tích theo kế hoạch là: 52 × 2 + 4 = 108 (ha) Diện tích trong mỗi ngày đội đã cày hơn so với dự định là: 52 – 40 = 12 (ha) Thời gian mà đội dự định cày xong diện tích ruộng theo kế hoạch là: 108 : 12 = 9 (ngày) Vve=330 km ? km Vđi =330 km A B t, 40 ha ? ha t, 52 ha A B 2 ngày + 4 ha C

37. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 37 Diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là: 40 × 9 = 360 (ha) Cách giải khác: Thời gian dự định t1- vận tốc dự định v1-diện tích ruộng theo kế hoạch Thời gian thực hiện t2-vận tốc thực hiện v2-diện tích ruộng theo kế hoạch Do đó suy ra: 1 2 2 1 t v 52 13 = = = t v 40 10 Mà ta lại dễ thấy: t1 = t2 + 4 2 52 . Đến đây đưa về dạng toán tìm 2 số biết tỷ số và hiệu của chúng. Bài 25: Một chiếc xe lửa chạy qua mặt một người đi xe đạp cùng chiều có vận tốc 18 km/h hết 24 giây và qua mặt một người đi xe đạp ngược chiều có vận tốc 18 km/h hết 8 giây. Tính vận tốc của xe lửa. Hd: Đổi đơn vị: 18 km/h = 5 m/s Trong khoảng thời gian 24 giây người ngồi trên xe lửa đi được quãng đường là: Chiều dài xe lửa + ( 5  24) = Chiều dài xe lửa + 120 (m) Trong khoảng thời gian 8 giây xe lửa tốc hành đi được quãng đường là: Chiều dài xe lửa – ( 5  8) = Chiều dài xe lửa – 40 (m)  Thời gian xe lửa đi được quãng đường 120 + 40 = 160 (m) là: 24 – 8 = 16(s) Vận tốc của xe lửa là: 160 : 16 = 10(m/s) = 36 (km/h) Bài 26: Hai địa điểm A, B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A về B và một xe đạp đi từ B về A cùng xuất phát một lúc và sau 1 giờ 12 phút gặp nhau tại địa điểm chúng tôi đó ô tô tiếp tục chạy đến B rồi quay trở về A ngay với vận tốc cũ. Ô tô đuổi kịp người đi xe đạp ở vị trí D sau 48 phút kể từ lúc gặp nhau lần trước. Tính vận tốc của ô tô và xe đạp. Hd: 8 s 8 s 24 s 24 s Ngược chiều: Cùng chiều: Ô tô B DC 72 km AÔ tô Ô tô Xe đạp Xe đạp 72 phút 72 phút 48 phút

38. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 38 Theo bài ra ta có: Tổng vận tốc của ô tô và xe đạp là: 72000 : 72 = 1000 (m/ph) Sau khoảng thời gian 72 + 48 = 120 (phút) ta có: Xe đạp đi được quãng đường là: BC + CD = BD Ô tô đi được quãng đường là: AC + CB + BC + CD = AB + BD Hiệu của hai quãng đường của ô tô và xe đạp là: (AB + BD) – BD = AB = 72000 Hiệu của hai vận tốc của ô tô và xe đạp là: 72000 : 120 = 600 (m/ph) Vậy vận tốc của ô tô là: (1000 + 600) : 2 = 800 (m/ph) Vận tốc của xe đạp là: (1000 – 600) : 2 = 200 (m/ph) § 5. TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC, với điểm M, N là điểm chính giữa cạnh AB, AC. Chứng minh rằng AMN ABC 1 S = S 4  Bài 2: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng SAED = SBEC. N A B C M Hd: Ta có: SABC = 2 × SABN (Chung c/cao từ B tới AC và đáy AC = 2× AN) SABN = 2 × SAMN (Chung c/cao từ N tới AB và đáy AB = 2× AM) Do đó suy ra SABC = 4 × SAMN A B CD E Hd: Ta có: SADC = SBDC (Chung đáy DC và cùng c/cao của hình thang)  SADC – SEDC = SBDC – SEDC Do đó suy ra SAED = SBEC

39. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 39 Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, I là điểm chia AB thành hai phần bằng nhau, đoạn thẳng BD cắt CI tại K. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết diện tích tứ giác ADKI là 20 cm2 . Hd: + Khẳng định được SDIB = 2 1 SCDB  h1 = 2 1 h2  SIDK = 2 1 SCDK  SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK. +Mà SCDI = 2 SADI  SADI = 2 3 SIDK hay SIDK = 3 2 SADI + SAIKD = SDAI + SIDK = 20 (cm2 ) nên suy ra: SADI + 3 2 SADI = 20 (cm2 ) hay SADI = 12 (cm2 ) + SABCD = 4  SADI = 4 12 = 48 (cm2 ). Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy 2 điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O. Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3, 5 cm2 . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. Hd: Từ SPOD = SMON + 3, 5 cm2 ta có:  SPOD + SNOP = SMON + SNOP + 3,5 cm2 Hay SNPD = SMPN + 3,5 cm2 . Mặt khác SNPD = 1, 5  SMPN (Vì đáy DP = 1, 5  MN và cùng đường cao là chiều rộng hình chữ nhật). Do đó SNPD = 10, 5 cm2 ; SMPN = 7 cm2 . Vậy SABCD = 4  SNPD = 42 (cm2 ). Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 108 cm2 . M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm I sao cho DI = 3 1 DM. Hai đoạn thẳng AI và BD cắt nhau tại điểm K. Tính diện tích tứ giác MIKC. Hd: + Ta có: SABD = 2 1 SABCD = 108 : 2 = 54 (cm2 ). SADM = SBDM (chung đường cao AD, đáy MA = MB)  SADM = 2 1 SABD = 54 : 2 = 27 (cm2 ). A B CD K I O h1 h2 MA B CD P N O M D C BA h2 K I h1

40. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 40  SAID = 3 1 SADM = 27 : 3 = 9 (cm2 ); SAMI = 3 2 SADM = 18 (cm2 ). SBID = 3 1 SBDM = 27 : 3 = 9 (cm2 ); SBMI = 3 2 SBDM = 18 (cm2 ).  SAIB = 18 + 18 = 36 (cm2 ).  SAID : SAIB = 9 : 36 = 4 1  1 2 h 1 h 4   SDIK : SBIK = 4 1 (chung đáy IK và 1 2 h 1 h 4  )  4 1  BK DK (chung đường cao hạ từ I) và SDIK = 5 1 SBID = 5 1  9 = 1, 8 (cm2 ). + Mặt khác ta có SDCK : SBCK = 4 1 (chung đáy CK và 4 1  BK DK ) Nên SDCK = 5 1 SBCD = 5 1 SABD = 54  5 1 = 10, 8 (cm2 ). SBCM = SADM = 27 (cm2 ). Vậy SMIKC = SABCD – SADM – SBCM – SDIK – SDCK = 108 – 27 – 27 – 1, 8 – 10, 8 = 41, 4 (cm2 ). Bài 6: Cho hình thang ABCD có đáy AB nhỏ hơn đáy CD và AD = BC. Trên cạnh AD lấy điểm M, kéo dài BC về phía C, trên đó lấy điểm N sao cho DM = CN. MN cắt DC tại I. Chứng tỏ rằng I là điểm chính giữa của MN. Hd: Ta có SBDC = SADC (chung đáy CD và các đường cao t1, t2 hạ từ A và B bằng nhau)  t1 = t2 (Vì có 2 đáy AD = BC)  SDNC = SDMC (Vì có đáy MD = NC và hai đường cao t1 = t2 )  h1 = h2 (chung đáy DC)  SMIC = SNIC (chung đáy IC và chiều cao h1 = h2)  IM = IN (chung đường cao hạ từ C). Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh CD = 20cm, AD = 14cm. Hai điểm M, N thuộc cạnh AB sao cho AM = 8cm, BN = 4cm. Hai đường thẳng CM và DN cắt nhau tại K. Tính tỷ số KN KD và diện tích SAMKD ? Hd: – Tính KN = ? KD I M h1 N D C BA h2 t1 t1 A BM N 14cm K

41. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 41 Ta có SNCM = 56 cm2 và SDCM = 140 cm2  NCM DCM S 56 2 = = S 140 5  1 2 h 2 = h 5 (h1, h2 là chiều cao từ N, D tới CM) Mà h1, h2 là chiều cao của MKN và MKD nên: MKN 1 MKD 2 S h 2 = = S h 5 Mặt khác MKN MKD S KN = S KD ( Vì 2 tam giác này chung chiều cao hạ từ M tới DN) Vậy ta suy ra: KN 2 = KD 5 – Tính SAMKD = ? Ta có: MKN MKD S KN 2 = = S KD 5 và SMKN + SMKD = 56 Đưa về dạng toán tìm 2 số biiét tổng bằng 56 còn tỷ số bằng 2/5. Ta dễ dàng tính được SMKD = 56 : ( 2 + 5)  5 = 40 cm2 . Suy ra SAMKD = SADM + SMDK = 56 + 40 = 96 Bài 8: Cho hình chữ nhật MNPQ có độ dài các cạnh MN = 15cm, NP = 12cm. Hai điểm E, F thuộc cạnh MN sao cho ME = NF = 6cm. Hai đường QF và PE cắt nhau tại K. Tính tỷ số KF KQ và diện tích SMEKQ ? Hd: – Tính KF = ? KQ Ta có SPEF = 18 cm2 và SEPQ = 90 cm2  FEP QEP S 18 1 = = S 90 5  1 2 h 1 = h 5 (h1, h2 là chiều cao từ F, Q tới EP ) Mà h1, h2 là chiều cao của FKE và QKE nên ta có: FKE 1 QKE 2 S h 1 = = S h 5 Mặt khác FKE QKE S KF = S KQ ( Vì 2 tam giác này chung chiều cao hạ từ Etới QN ) Vậy ta suy ra: KF 2 = KQ 5 – Tính SAMKD = ? M N PQ E F 12cm 15cm K

42. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 42 Tính FKE QKE S KF 1 = = S KE 5 và SQKE + SFKE = 18 Đưa về dạng toán tìm 2 số biiét tổng bằng 56 còn tỷ số bằng 1/5. Ta dễ dàng tính được SQKE = 18 : ( 1 + 5)  5 = 15 cm2 . Suy ra SMEKQ = SMEQ + SQKE = 36 + 15 = 51 cm2 Bài 9: Cho▲ABC có diện tích 120 cm2 . Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh CA và CB sao cho CM = 2 3  CA; CN = 1 3  CB. Hai đường BM cắt AN tại K. Tính SAMNB và tỷ số KB KM ? Hd: – . Tính SAMNB = ? SCAN = 1/3 SCAB = 1/3 120 = 40 SCMN = 2/3 SCAN = 2/3 40 = 80/3 SBCMN = 120 – 80/3 = 280/3 – Tính KB KM =? Ta có: SABN = 2SACN ( Vì chung chiều cao hạ từ A tới BC và đáy BN = 2CN ) SKBN = 2 SKCN ( Vì chung chiều cao hạ từ K tới BC và đáy BN = 2CN )  SKAB = 2 SKAC Mà dễ thấy SKAC = 3. SKAM ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC và đáy AC = chúng tôi ) Do đó suy ra: SKAB = 2 3 SKAM = chúng tôi  KAB KAM S 6 = = 6 S 1 Mặt khác KAB KAM S KB = S KM ( Vì 2 tam giác này chung chiều cao hạ từ A tới BM ) Vậy ta suy ra: KB = 6 KM Bài 10: Cho▲ABC có diện tích 180 cm2 . Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh CA và CB sao cho CM = 1 3  CA; CN = 2 3  CB. Hai đường BM cắt AN tại K. Tính SAMNB và tỷ số KM KB . Hd: – . Tính SAMNB = ? SCAN = 2/3 SCAB = 2/3 180 = 120 A B C M N K A B C M N K

43. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 43 SCMN = 1/3 SCAN = 1/3 120 = 40 SBCMN = 180 – 40 = 140 – Tính KM KB =? Ta có: SACN = 2SABN ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ A tới BC và đáy CN = 2BN ) SKCN = 2SKBN ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới BC và đáy CN = 2BN )  SKAC = 2  SKAB Mà dễ thấy SKAM = 2/3 SKAC ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC và đáy AM = 2/3AC ) Do đó suy ra: 3/2  SKAM = 2 SKAB  KAM KAC S 3 = S 4 Mặt khác KAM KAB S KM = S KB ( Vì 2 tam giác này chung chiều cao hạ từ A tới BM ) Vậy ta suy ra: KM 3 = KB 4 Bài 11: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại E. Chứng minh rằng SADE = SBCE và tính tỷ số EA EC Hd: – Chứng minh SADE = SBCE Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC và cùng chiều cao hình thang) Do đó: SADE – SCDE = SBCE – SCDE Suy ra: SADE = SBCE – Tính EA = ? EC Ta có: BEA BEC SEA = EC S ( Chúng chung chiều cao hạ từ B tới AC ) BEA 1 BEC 2 S h = S h (Chung đáy BE và nhận h1, h2 là chiều cao hạ từ A, C tới BE ) Mà 1 ABD 2 CBD h S = h S ( Vì h1, h2 là chiều cao hạ từ A, C tới BD ) A B CD E h1 h2

44. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 44 Dễ thấy SCBD = 3SABD ( Do chúng chung chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3AB). Từ đây dễ dàng suy ra: EA 1 = EC 3 Bài 12: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại I. Chứng minh rằng SADI = SBCI và tính tỷ số IB ID Hd: – Chứng minh SADI = SBCI Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC Và cùng chiều cao hình thang) Do đó: SADI – SCDI = SBCI – SCDI Suy ra: SADI = SBCI – Tính IB = ? ID Ta có: AIB AID SIB = ID S ( Chúng chung chiều cao hạ từ A tới BD ) AIB 1 AID 2 S h = S h ( Chung đáy AI và nhận h1, h2 là chiều cao hạ từ B, D tới AI ) Mà BAC1 2 DAC Sh = h S ( Vì h1, h2 là chiều cao hạ từ B, D tới AC ) Dễ thấy SDAC = 3SBAC (Do chúng cùng có chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3AB). Từ đây dễ dàng suy ra: IB 1 = ID 3 Bài 13: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3AB. Hai đường chéo AC cắt BD tại I và hai cạnh bên CB cắt DA tại O. Chứng minh rằng SADI = SBCI và tính tỷ số OA OD Hd: – Chứng minh SADI = SBCI Ta có: SBCD = SACD (Chúng chung đáy DC và cùng chiều cao của hình thang) Do đó: SADI – SCDI = SBCI – SCDI Suy ra: SADI = SBCI A B CD I h1 h2 O A B CD I h1 h2

45. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 45 – Tính OA = ? OD Ta có: COA COD SOA = OD S ( Chúng chung chiều cao hạ từ C tới OD ) COA 1 COD 2 S h = S h (Chúng chung đáy OC và nhận h1, h2 là chiều cao hạ từ A, D tới OC ) Mà ABC1 2 DBC Sh = h S (Vì chung đáy BC và h1, h2 là chiều cao hạ từ A, D tới BC) Dễ thấy SDBC = 3SABC (Do chúng đều có chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3AB). Từ đây dễ dàng suy ra: OA 1 = OD 3 Bài 14: Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Hai đường thẳng CM cắt BN tại E và kẻ đường AE cắt cạnh BC tại điểm F. Hãy tìm tỷ số EM EC và chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh BC. Hd: – Tính EM = ? EC Dễ thấy: SCAM = SBAN = ABC 1 S 2  Suy ra: SECN = SEBM Mặt khác ta có: SEBM = SEAM và SECN = SEAN Do đó: SEBM = SEAM = SECN = SEAN = ABC 1 S 6   SEAC = SEAB = SEBC = ABC 1 S 3   SEAM = EBC 1 S 2  . Suy ra: EM 1 = EC 2 – Chứng minh rằng: BF = CF Theo chứng minh trên ta có: SEAC = SEAB Mà hai tam giác này lại có chung cạnh AE, nên suy ra: h1 = h2 (Với h1, h2 là chiều cao hạ từ B, C tới AE) Suy ra: SEBF = SECF (Vì hai tam giác này cũng nhận h1, h2 là chiều cao và chung đáy EF). Do đó suy ra: BF = CF Bài 15: Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt trên hai cạnh AB, AC sao cho: AB = 3AM, AC = 3AM . Biết diện tích SABC = 180 cm2 và hai đường thẳng CM cắt BN tại E. Hãy tính SMNCB và tìm tỷ số EM EC . A B C M N E F h1 h2

46. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 46 Hd: – Tính SMNCB = ? Ta có: AMN AMC 1 S S 3   (Chung chiều cao hạ từ M tới AC và đáy AC = 3AN) AMC ABC 1 S S 3   (Chúng chung chiều cao hạ từ C tới AB và đáy AB = 3AM) Suy ra: 2 AMN ABC 1 S S = 20 cm 9   . Do đó: SMNCB = 180 – 20 = 160 cm2 – Tính EM = ? EC Ta có: BAN BCN 1 S S 2   (Chung chiều cao hạ từ B tới AC và đáy CN = 2AN) EAN ECN 1 S S 2   (Chung chiều cao hạ từ E tới AC và đáy CN = 2AN) Do đó: BAN EAN BCN ECN 1 S S (S S ) 2      BAE BCE 1 S S 2   Mặt khác có: EBM EAB 2 S S 3   (Chung chiều cao hạ từ E tới AB và đáy AB = 3AM) Do đó suy ra: EBM BCE 3 1 S S 2 2    . Suy ra: EBM EBC S 1 = S 3 Bài 16: Cho▲ABC với hai điểm E, F lần lượt trên hai cạnh AB, AC sao cho: AB = 3AE, AC = 2AF . Biết diện tích SABC = 240 cm2 và hai đường thẳng CE cắt BF tại K. Hãy tính SEFCB và tìm tỷ số KE KC . Hd: – Tính SEFCB = ? Ta có: AEF AEC 1 S S 2   (Chung chiều cao hạ từ E tới AC và đáy AC = 2AN) A B C M N E A B C E F K 0, 5 đ + 0, 5 đ

47. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 47 AEC ABC 1 S S 3   (Chung chiều cao hạ từ C tới AB và đáy AB = 3AE) Suy ra: 2 AEF ABC 1 S S = 40 cm 6   . Do đó: SEFCB = 240 – 40 = 200 cm2 – Tính KE = ? KC Ta có: BAF BCFS S ( Chúng chung chiều cao hạ từ B tới AC và đáy CF = AF) Ta có: KAF KCFS S ( Chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC và đáy CF = AF) Do đó suy ra: SBAF – SKAF = SBCF – SKCF  BAK BCKS S Mặt khác có: KBE KAB 2 S S 3   (Chúng chung chiều cao hạ từ K tới AB và đáy AB = 3AE). Do đó suy ra: KBE BCK 3 S S 2   . Suy ra: KBE KBC S 1 = S 3  KE 2 = KC 3 Bài 17: Cho▲ABC có diện tích 216 m2 , AB = AC và BC = 36m. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 1 MB = AB 2  , trên cạnh AC lấy điểm N sao cho 1 NC = AC 2  và trên cạnh BC lấy điểm I sao cho 1 BI = BC 2  . Nối M với N và N với I, ta được hình thang MNIB. Hãy tính : a) Diện tích hình thang MNIB b) Độ dài đoạn thẳng MN. Hd: a) Diện tích hình thang MNIB Ta thấy: SNAM = 1 2  SNBA SBNA = 1 2  SBCA Vậy suy ra: SNAM = 1 4  SBCA = 54 m2 Tương tự có: SCNI = 54 m2 Do đó có: SMNIB = 216 – 54 – 54 = 108 m2 b) Độ dài đoạn thẳng MN: SBNC = 1 2 SBCA = 108 m2 , mà BC = 36 m . Suy ra chiều cao hạ từ N tới BC là: 2  108 : 36 = 3 (m) Diện tích của hình thang MNCB là: 216 – 54 = 162 (m2 ) 36 m A B C M N I h

48. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 48 Độ dài đáy MN là: 2162 : 3 – 36 = 72 (m) Hd: – SAEID = SABCD – SEBC – SICD = 400 – 100 – 80 = 220 – Dễ dàng tính được tổng diện tích của hai tam giác ICF và ICD bằng 100. – Xét việc tính tỉ số diện tớch của hai tam giác ICF và ICD: ICF ECF1 ICD 2 ECD S Sh 50 1 = = = = S h S 200 4 – Suy ra: SICD = 100 : (4 + 1)  4 = 80 – SAEID = SABCD – SEBC – SICD = 400 Bài 20: Cho ∆ABC có dt(ABC) = 100 cm2 . Lấy hai điểm E  cạnh AC và F  cạnh BC sao cho BF = 1 2  FC và CE = 1 3  AE.Gọi điểm K = EFAB. A B CD E F I20 Bài 18: Cho ∆ABC có: AB = AC. Biết điểm E  cạnh AB và điểm F  AC kéo dài sao cho BE = CF. Gọi I = EF  BC. Chứng minh rằng : IE = IF Hd: – Để c.m.r IE = IF ta c.m.r tam giác BEI và BFI chúng có diện tích bằng nhau – Để c.m.r tam giác BEI và BFI có diện tích bằng nhau ta c.m.r h1 = h2 – Để c.m.r h1 = h2 ta c.m.r tam giác EBC và FBC có diện tích bằng nhau – Để c.m.r tam giác EBC và FBC có diện tích bằng nhau ta c.m.r l1 = l2 Ta thấy l1 = l2 là đễ thấy tam giác ABC có AB = AC Bài 19: Cho hình vuôngABCD có độ dài cạnh là 20cm Biết điểm E  cạnh AB và điểm F  cạnh BC sao cho EA = EB = FB = FC. Gọi I = CE  DF . Tính dt(AEID) = ? h2 E F A B C I h1 l1 l2

49. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 49 Hãy tính dt (ABFE) = ? và tính tỷ số KB ? KA  Hd: dt(KCF) = 2dt(KBF) + dt(ECF) = 2dt(EBF)  dt(KCE) = 2dt(KBE) Mà dt(KCE) = 1 3 dt(KAE)  dt(KBE) = 1 6 dt(KAE)  KB 1 KA 6  Bài 21: Cho ∆ABC có hai điểm M  cạnh AB và N  cạnh AC sao cho AM = 1 3  AB và AN = 1 3  AC. Lấy điểm bất kỳ E  MN ; Gọi F = AEBC Tính tỉ số AE ? AF  Hd: Ta cú dt(AMF) = 1 3 dt(ABF) dt(ANF) = 1 3 dt(ACF)  dt(MNP) = 2dt(AMN)  h2 = 2  h1  dt(MEF) = 2dt(AME)  dt(NEF) = 2dt(ANE) AF EF = 2AE EF + AE = 3AE      AE 1 EF 3  Bài 22: Cho ABCD là hình chữ nhật Lấy điểm E  cạnh AD và F  cạnh BC sao cho EA = ED = FB = FD. Hai điểm M  cạnh AB và N  cạnh DC.Gọi điểm I = EF  MN a) Tính dt(ABFE) = ? dt(EFCD) = ? theo dt(ABCD) b) So sánh MI và NI C A B E F K C A B E F N M h1 h2 A B CD E F M N I

50. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 50 Hd: a) dt(ABFE) = (AE+BF)×AB AD×AB 1 = = dt(ABC) 2 2 2  dt(DEFC) = ? Tương tự vỡ đây là hai hình thang b) 1 1 dt(AEM )+dt(BFM )= AM ×AE+ BM ×BF 2 2 1 1 = (AM +BM )×AD = AB×AD 4 4 Tương tự ta có : 1 dt(D EM )+dt(C FN)= AB×AD 4  dt(MEF) = dt(NEF)  h1 = h2  IM = IN Bài 23: Cho ABCD là hình chữ nhật. Lấy điểm E, F trên hai cạnh AB, CD sao cho EA = ED = FB = FC. Lấy I trên EF sao cho EI = 2  FI a) So sánh: dt(AMND) và dt(CNMB) b) Chứng minh rằng: AM + DN EI = 2 Hd: 1 d t(A E M )+ d t(D E N )= (A M + D N )× A E 2 1 = (A M + D N )× A D 4 1 = d t(A M N D ) 2 d t(A E M ) + d t(D E N ) = d t(E M N ) Tương tự : dt(BFM) + dt(CFN) = dt(FMN) Ta có : dt(MEI) = 2 dt(MFI) dt(NEI) = 2 dt(NFI)  dt(MEI) + dt(NEI) = 2 dt(MFI) + dt(NFI)    dt(EMN) = 2 dt(FMN)  2dt(EMN) = 4 dt(FMN) Do đó suy ra: dt (AMND) = 2dt (CMNB) A B CD E F M N I

51. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 51 Bài 24: Cho ABCD là hình chữ nhật. BC = 8 ; AB = 10 BM = DN ; EB = EC Kẻ EF song song với AB, CD a) So sánh: dt(AMND) và dt(BMNC) b) Tính EF = ? Hd: a) – Chứng tỏ hai tứ giác BMNC và DNMA là hai hình thang – Áp dụng công thức tính diện tích hình thang vào 2 tứ giác BMFE và EFNC – Từ đây suy ra diện tích chúng bằng nhau và bằng nửa diện tích hình chữ nhật b) Tính tổng diện tích hai hình thang BMFE và EFNC là hai hình thang bằng diện tích hình thang BMNC là 40. Ta có: 2  (BM + EF) + 2  (EF + CN) = 40  (BM + EF) + (EF + CN) = 20 Mà ta biết BM + CN = AB = 10 nên suy ra: 2  EF = 10  EF = 5 Bài 25: Cho ABCD là hình chữ nhật có: Diện tích hình chữ nhật là 108 cm2 MA = MB ; DM = 3  DN Hãy tính: a) dt(DMI) =? b) dt(DIC) =? c) dt(MNIC) =? Hd: a) Ta có 21 dt(BDM) = dt(ABD) = 27 cm 2  dt(AMN) = 2  dt(ADN) và dt(IMN) = 2  dt(IDN)  dt(AMN) + dt(IMN) = 2  [dt(ADN) + dt(IDN)]  dt(AMI) = 2  dt(ADI) Mà dt(AMI) = dt(BMI)  dt(AMI) = dt(BMI) = 2  dt(ADI) Ta dễ thấy dt(AMI) + dt(BMI) + dt(ADI) = dt(ABD) = 54 cm2 Do đó suy ra: dt(BMI) = 54 : 5  2 = 21,6 cm2  dt(DMI) = dt(BMD) – dt(BMI) = 27 – 21,6 = 5,4 cm2 b) Ta có 21 dt(BDM) = dt(BCD) = 27 cm 2  A B CD EF M N 4 4 CD A BM I N h1 h2

Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 4

Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 4

Bài tập toán nâng cao lớp 4

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4

là tài liệu tổng hợp các bài tập toán nâng cao lớp 4 hay, hữu ích. Toán lớp 4 nâng cao này bao gồm các bài toán về 11 chuyên đề, được sắp xếp từ dễ đến khó dành cho các em học sinh, phụ huynh và thầy cô giáo tham khảo và học tập.

Giải bài tập SGK Toán lớp 4

Bài tập Toán có lời văn lớp 4

Một số dạng Toán cơ bản lớp 4

300 bài ôn luyện môn Toán lớp 4

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 4: Toán trung bình cộng

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4

Chuyên đề 1

Tìm thành phần chưa biết của phép tính

Bài 1: Tìm x

x + 678 = 2813 4529 + x = 7685 x – 358 = 4768 2495 – x = 698

x × 23 = 3082 36 × x = 27612 x : 42 = 938 4080 : x = 24

Bài 2: Tìm x

a. x + 6734 = 3478 + 5782 b. 2054 + x = 4725 – 279

c. x – 3254 = 237 x 145 d. 124 – x = 44658 : 54

Bài 3: Tìm x

a. x × 24 = 3027 + 2589 b. 42 × x = 24024 – 8274

c. x : 54 = 246 ×185 d. 134260 : x = 13230 : 54

……

Chuyên đề 11 Các bài toán về cân – đong – đo

*- Một tấm vải dài 2m4dm. Muốn cắt lấy 6dm vải mà không có thước đo thì làm thế nào để cắt cho đúng?

– Có một sợi dây dài 3m2dm. Muốn cắt lấy một đoạn dài 6dm mà không có thước đo thì làm thế nào để cắt cho đúng?

– Có một sợi dây dài 3m6dm. Muốn cắt lấy một đoạn dài 9dm mà không có thước đo thì làm thế nào để cắt cho đúng?

– Có một sợi dây dài 1m2dm. Không có thước đo, làm thế nào để cắt ra một đoạn dài 4dm5cm?

– Bình có một sợi dây dài 1m2dm, Bình muốn cắt ra một đoạn dây dài 4dm5cm nhưng không có thước đo nên không cắt được. Em hãy nghĩ cách giúp Bình.

*- Có 4 kg gạo và một cân hai đĩa, không có quả cân. Muốn lấy ra 1kg gạo thì phải làm như thế nào?

– Có 5 kg gạo, một quả cân 1kg và một cân hai đĩa. Muốn lấy ra 1kg gạo bằng một lần cân thì phải làm như thế nào?

– Có một cân hai đĩa và một quả cân 1kg, một quả cân 2kg. Làm thế nào để qua hai lần cân lấy ra được 9kg gạo?

Phương Pháp Ôn Thi Học Sinh Giỏi Môn Văn

gia su mon van là dành cho bạn. 

Môn văn luôn là một trong những môn chính yếu trong suốt những năm học của học sinh. Phần lớn học sinh đều cho rằng đây là môn học khó dành được điểm cao nhưng vẫn có rất nhiều học sinh bộc lộ năng khiếu thông qua các kì thi cử ở trường và kì thi học sinh giỏi môn văn. Để có thể đạt được kết quả cao ở kì thi học sinh giỏi môn văn – nơi hội tụ rất nhiều bạn trẻ cùng có năng khiếu về bộ môn này như nhau, bạn cần phải có chiến lược và phương pháp ôn thi hiệu quả. Chính điều này sẽ góp phần giúp bạn vượt qua những thí sinh khác và đạt được mục tiêu như ý muốn. Nếu bạn đang muốn tìm hiểu về phương pháp ôn thi học sinh giỏi môn văn thì bài viết này củalà dành cho bạn.

 

Cách ôn thi học sinh giỏi môn Văn hay

Cách ôn thi học sinh giỏi môn Văn hay

 

Xác định rõ mục tiêu ôn thi

 

Chúng ta phải thừa nhận tầm quan trọng của việc xác định mục tiêu khi làm bất kì điều gì đó. Việc xác định mục tiêu sẽ giúp bạn định hướng sẵn điều bạn muốn đạt được. Từ đó, bạn sẽ phải suy nghĩ cách để đạt được mục tiêu lớn ấy và tự động viên bản thân tuân thủ nghiêm ngặt cách thức đó. Đối với môn văn cũng tương tự như vậy. Bạn phải xác định rõ mục tiêu ngay từ đầu. Nếu bạn chỉ muốn tham gia kì thi này như một trải nghiệm nho nhỏ của bản thân thì bạn sẽ có cách ôn luyện vừa đủ để xem kì thi ấy như một sân chơi bổ ích. Còn nếu bạn xác định mục tiêu là đạt thành tích cao trong kì thi học sinh giỏi môn văn thì bạn cần nỗ lực ôn luyện và thực sự nghiêm túc trong suốt quá trình này.

 

Ngoài việc xác định rõ mục tiêu, bạn còn cần chia nhỏ mục tiêu lớn ấy thành những mục tiêu chi tiết hơn. Tức là bạn cần có lịch trình để ôn luyện môn văn theo từng tháng, từng tuần, từng ngày. Mỗi cột mốc thời gian tương ứng với một phần kiến thức của môn văn nhất định. Việc chia nhỏ mục tiêu lớn thành những mục tiêu nhỏ hơn sẽ giúp bạn có thêm động lực để hoàn thành kế hoạch ôn thi này. Đồng thời, điều này còn giúp bạn sử dụng thời gian hợp lí và hiệu quả. Tránh tình trạng học dồn vào thời điểm cận thi khiến kết quả thi cử không đạt được như ý muốn và sức khỏe cũng không ổn định. 

 

Kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi môn văn

Kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi môn văn

 

Xây dựng niềm tin cho bản thân mình

 

Bạn sẽ không thể đạt được thành tích cao trong kì thi học sinh giỏi môn văn nếu như ngay chính bản thân bạn còn không tin rằng điều ấy sẽ xảy ra. Do đó, điều tiếp theo bạn nên làm là tin tưởng bản thân mình có thể đạt được mục tiêu đã đề ra. Ngoài ra, việc tin tưởng vào bản thân còn giúp bạn có thêm sự tự tin và quyết tâm hoàn thành tốt bài thi học sinh giỏi môn văn của mình. Bạn chỉ cần cố gắng hết sức và không bỏ cuộc trong thời gian ôn luyện, cho dù bạn không đạt được thành tích cao đi nữa, bạn dường như đã thành công rồi đấy. 

 

Chăm chỉ, cần cù

 

Chắc rằng bạn đã luôn nghe câu nói “Có công mài sắt, có ngày nên kim”. Do đó, phương pháp ôn học sinh giỏi môn văn dù đặc thù như thế nào đi nữa thì vẫn phải đề cập đến sự chăm chỉ, cần cù trong thời gian ôn thi. Theo đó, bạn nên đi học đầy đủ tất cả các buổi ôn luyện để nắm bắt trọng tâm của bài học qua lời giảng của quý thầy cô. Đồng thời, chịu khó dành thời gian hoàn thành các yêu cầu của thầy cô giáo luyện thi cho bạn. Ngoài ra, bạn còn cần tìm thêm sách, báo, truyện, v.v… của nhiều tác giả để mở mang kiến thức cũng như cách hành văn, trau dồi thêm ngôn từ cho mình. Đặc biệt, bạn còn cần phải chăm viết. Thông qua mỗi lần viết, bạn sẽ nhận ra nhiều khuyết điểm trong bài văn của mình. Chẳng hạn về lỗi ngữ pháp, lỗi chính tả, thiếu ý, v.v…

 

Cách học giỏi môn văn tại nhà

Cách học giỏi môn văn tại nhà

 

Học hiểu thay vì học thuộc lòng

 

Những năm gần đây, trong giáo dục đã đề cao tầm quan trọng của sự học hiểu. Mặc dù học thuộc lòng để viết cũng không hẳn là sai nhưng nó khiến bạn chỉ thực sự nhớ về tác phẩm ấy trong một thời gian rất ngắn. Bên cạnh đó, nếu như bạn quên đi bất kì một đoạn văn nào đó trong bài, bạn sẽ rất khó để nhớ tiếp tục các đoạn văn còn lại. Trong khi đó, cuộc thi học sinh giỏi vô cùng áp lực nên sẽ có những giây phút bạn căng thẳng đến mức quên hết những gì đã học thuộc sẵn. Để khắc phục tình trạng này, bạn nên học hiểu vấn đề. Hiểu những chi tiết nhỏ nhặt trong tác phẩm. Chỉ khi bạn thực sự hiểu ý nghĩa của nó, bạn mới thăng hoa trong lúc phân tích tác phẩm ấy. Có như thế, bài làm của bạn mới chính là tác phẩm mang đậm dấu ấn cá nhân của bạn. 

 

 

Dành thời gian luyện đề thi các năm trước

 

Việc giải đề thi sẽ giúp bạn ước chừng được năng lực của bản thân. Bạn có thể thấy rõ trong khoảng thời gian quy định, bạn có thể hoàn thành được đề thi đến mức độ nào. Ngoài ra, việc tham khảo nhiều đề thi còn giúp bạn nắm được cấu trúc, nội dung cần lưu ý. Dành thời gian luyện đề thi học sinh giỏi sẽ giúp bạn có thêm tự tin và kịp thời bổ sung những kiến thức cần phải tìm hiểu thêm. 

 

Trịnh Hàn Kim Ngọc

 

Phương pháp ôn thi học sinh giỏi môn văn

Cập nhật thông tin chi tiết về Các Phương Pháp Học Giỏi Toán trên website Phauthuatthankinh.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!